Coordonnées de points 3D dans un nouveau repère 2D (plan formé par 3 points)

[invitef3867af3]

Bonjour,

Je recherche une méthode pour obtenir les coordonnées de mes points 3d dans un repère 2D définit comme suit :

Dans le repère 3D orthonormé O(Xo, Yo, Zo) :
A(Xa, Ya, Za)
B(Xb, Yb, Zb)
C(Xc, Yc, Zc)

Dans mon repère 2D (mon plan) O'(U, V)
tel que :
O' = A (donc A sera le centre de ce repère)
U = le vecteur AB
V = un vecteur de même norme que AB (même taille) et perpendiculaire à AB dans le sens trigonométrique

Je sais déjà trouver l'équation de mon plan grâce au 3 points:
ax + by + cz + d = 0

Une fois que j'ai ce nouveau repère, je souhaiterais savoir comment trouver les coordonnées d'un point de mon repère 3D dans ce nouveau repère 2D.
Par exemple j'ai un point P(Xp, Yp, Zp) comment le définir dans mon repère 2D de la forme P'(Up, Vp) ? (peu être avec des calculs sous forme de matrice mais je sais pas comment faire)

J'espère que je suis clair dans mes explications

Merci d'avance

Morko

PS: je sais faire des produit scalaire et vectoriel mais je ne vois pas comment m'en sortir.
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[gg0]

Bonjour.

La notion de "sens trigonométrique" dans un plan de l'espace n'a pas de sens (*). Tu vas donc avoir deux repères possibles pour ton plan. Tu peux choisir, par exemple, le vecteur qui donne pour C une ordonnée positive. ou ne pas choisir.
Pour obtenir ces deux vecteurs, tu peux prendre le vecteur de coordonnées (a,b,c), perpendiculaire au plan, et faire le produit vectoriel avec le vecteur (AB). Tu obtiens un vecteur du plan, perpendiculaire à (AB). Tu modifieras sa norme ensuite si tu veux, ou son sens.

La suite n'a pas de sens pour moi : " je souhaiterais savoir comment trouver les coordonnées d'un point de mon repère 3D dans ce nouveau repère 2D." ??? Le repère 3D concerne tout l'espace; le repère 2D ne concerne que le plan (ABC), donc seuls les points du plan ont des coordonnées dans le repère 2D.
NB : Ne pas confondre le repère (ou le repérage) et ce qui est repéré.

Cordialement.

(*) Pense à un cercle placé sur une feuille transparente. Le sens de parcours change selon qu'on regarde la feuille par dessus ou par dessous.

[invitef3867af3]

Pour le sens trigo ou non ca n'a pas d'importance pour moi finalement.

Je connais N(a, b, c) le vecteur perpendiculaire au plan (déduit de l'équation du plan ax + by + cz + d = 0). Ici est ce que je dois le normer ou l'est-il déjà?.
Je prend un premier vecteur U = AB / norme (AB)
Je prend le produit vectoriel U x N = V

J'obtiens donc un repère orthonormé (U, V, N) où (U, V) forme un repère pour mon plan ( je garde N juste pour la suite ca me fera ma 3eme dimension).
Jusque là j'ai bon ?

Ensuite je pars de mes 3 vecteurs :
N(Xn, Yn, Zn)
U(Xu, Yu, Zu)
V(Xv, Yv, Zv)

Et je construits une matrice de transformation 4X4 en sachant que le centre de mon nouveau repère est A(Xa, Ya, Za) (coordonnée dans l'ancien repère de centre O(0, 0, 0) ).
J'obtiens la matrice suivante :

Xu Xv Xn Xa
Yu Yv Yn Ya
Zu Zv Zn Za
0 0 0 1

Ma matrice de passage est-elle correcte ?

Maintenant si je prend un point P(Xp, Yp, Zp) (coordonnée dans l'ancien repère de centre O(0, 0, 0) ) et que je multiplie ses coordonnées par la matrice de passage j'obtiens ses coordonnées dans le nouveau repère de base (U, V, N)

|Xp | | Xu Xv Xn Xa| |X'p|
|Yp | | Yu Yv Yn Ya | |Y'p|
|Zp | * | Zu Zv Zn Za| = |Z'p|
|1 | | 0 0 0 1 | |.....|

Est ce que ce raisonnement est correct ?

Vu que mon plan est seulement sur la base (U, V) je souhaité garder uniquement les coordonnées X'p et Y'p de mon point pour connaitre sa position dans le plan.
comprenez-vous ce que je cherche à faire et est ce correct ?

cordialement

[Dlzlogic]

La notion de "sens trigonométrique" dans un plan de l'espace n'a pas de sens .

Bonjour,
Je me permet juste une petite réaction.
En 3D, il est souvent question "d'intérieur et d'extérieur". En ce sens que les objets traités délimitent l'espace. Pour gérer cela, on a l'habitude d'adopter un sens conventionnel pour définir les surfaces qui sont les enveloppes des objets. En d'autres termes, on attribue un signe à l'aire de ces surfaces.
Pour être plus précis, lorsqu'on veut gérer et en particulier représenter un objet 3D, on divise les surfaces qui le définissent en facettes triangulaires, qui elles-mêmes définissent un plan. Le parcourt du périmètre de ces triangles se fait dans le sens conventionnel qu'on a adopté.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Ok !

Je ne suis pas spécialiste de ce genre de transformation, mais la relation entre les coordonnées est affine, pas linéaire. Donc je doute des transformations proposées. Je laisse des géomètres répondre.

Un vecteur obtenu par un calcul n'a aucune raison d'être normé.
"je souhaité garder uniquement les coordonnées X'p et Y'p de mon point pour connaitre sa position dans le plan." Ce qui suppose que P est déjà dans le plan. Dans ce cas, il y a probablement un lien avec A, B et C qui devrait permettre un calcul plus simple.

Cordialement.

[invitef3867af3]

Bonjour Dlzlogic décidément on se croise sur tous les forum ^^ (cf maths-forum)

pour la question du sens j'ai finalement codé une routine qui me permet, en lui fournissant 3 points dans n'importe quel ordre, de définir un triangle dans le sens trigonométrique. Comme ça je ne suis pas obligé d'utiliser les quaternions dans mon code.

[invitef3867af3]

A gg0 :
quand je dis "dans le plan" je voulais dire sa position X'p et Y'p dans le repère du plan ou sa projection orthogonale sur le plan

[invitef3867af3]

Encore plus simple :

X'p = AP.U
Y'p = AP.V

Et AP doit être normé !!!!!

[invitef3867af3]

Encore plus simple :

X'p = AP.U
Y'p = AP.V

Et AP doit être normé !!!!!

non ca ne marche pas dans tous les cas en faite ....