Géométrie des équations.

[invite86150b1a]

Bonjour à tous,
J'ai entendu dans une émission de radio anglaise sur l'histoire des mathématiques, sur la BBC, qu'au XXeme siècle un mathématicien français, était allé "à l'opposé" de Descartes. Descartes avait associé à une géométrie une équation, par exemple le cercle n'est plus l'ensemble des points a distance donné du centre, mais l’équation x²+y²=R². Or ce mathématicien était allé dans le sens inverse et avait crée une sorte de "géométrie des équations", ce qui d’après toujours ce programme radio s’était révélé être une énorme pas en avant.

Est ce que vous pouvez m'en dire plus sur cette géométrie des équations ? Qu'est ce que ca a permis de résoudre comme problème ?

Je me suis posé quelques questions de moi même en fait, par exemple, si on regarde les équations x=0 et x²=0, ce sont deux équations différentes, et pourtant elles ont les mêmes solutions, est ce qu'on doit leur associer le même objet géométrique?
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[0577]

L'étude des liens entre équations algébriques et objets géométriques est un domaine
des mathématiques appelé la géométrie algébrique.
Il y a plusieurs raisons pour considérer l'équation comme plus fondamentale que l'objet
géométrique :

1)"l'objet géométrique" associé à une équation dépend de l'ensemble dans lequel on cherche les solutions de l'équation:
les solutions entières de ne sont pas les mêmes que les solutions rationnelles
qui ne sont pas les mêmes que les solutions réelles qui ne sont pas les mêmes que les solutions complexes.
En fait, il ne faut pas voir une équation comme associée à un objet géométrique mais comme une application
qui associe à un ensemble de nombres l'ensemble des solutions dans cet ensemble.

2)les équations x=0 et semblent définir les mêmes objets géométriques. Faut-il considérer
que ce sont les "mêmes" ? Pendant longtemps (jusqu'au milieu du 20ième siècle), les géomètres algébristes
ont pensé que oui et que les équations du type étaient gênantes et qu'il fallait mieux les oublier
(ou plutôt les identifier à celles du type x=0).
En fait, ce n'est pas un bon point de vue. Les équations du type apparaissent naturellement dès
qu'on considère des familles d'équations. Pour chaque a, on peut considérer l'équation . Lorsque a tend vers 0 on a envie de dire que "tend" vers . Si on dit que la "limite" est x=0, alors le degré n'est plus "continu", ce qui pose d'autres problèmes ...
En fait, le problème des familles donne une indication de la manière dont il faut penser géométriquement . C'est la "limite" de deux points qui se confondent, il faut donc y penser comme à un point "épaissi".
Une fois qu'on a compri ceci, on se rend compte que ces équationsne sont pas gênantes mais très utiles : elles permettent de faire du calcul différentiel dans un cadre algébrique (x=0 est un point,
est un voisinage infinitésimal d'ordre un d'un point ...)

Ce qui précède est sans doute flou : comment construire une théorie mathématique qui rend rigoureuses les intuitions ci-dessus? Cela a été fait à partir du milieu des années 1950 par le mathématicien A. Grothendieck qui a inventé la "théorie des schémas", théorie qui répond complètement à la question et qui unifie les points de vue de 1) et 2) qui peuvent sembler différents à première vue.

J'attends la réponse de Oss118 avant d'essayer d'expliquer quels types de problèmes ont été résolus par ce point de vue car ce message est déjà assez long.

PS: un connaisseur de géométrie algébrique qui lirait ces lignes pourrait les trouver bien naïves, je m'en excuse.

[invite76543456789]

Salut!
Juste une precision, je suis moyennement d'accord sur ca

En fait, il ne faut pas voir une équation comme associée à un objet géométrique mais comme une application
qui associe à un ensemble de nombres l'ensemble des solutions dans cet ensemble.

L'interet de la chose c'est qu'il y a quand meme un objet geometrique derriere cela, et que ce "procede d'association" se lis completement sur cet objet géomtrique. En gros on peut faire directement de la goemetrie sur l'objet qui est derrière (le schéma donc) et dont les avatars correspondent aux solutions de l'equation a valeur dans differentes algèbres. (En terme technique, ce qui fait l'interet de la chose, c'est que le foncteur qui a une équation associe ses solutions est representable par un joli espace geometrique).

[0577]

Salut,
je suis d'accord sur le fond avec la réponse de MissPacMan.
Mais pour comprendre sa remarque (et ma première réponse)
il faut préciser qu'il y a deux sens possibles à "objets géométriques".

Dans ma première réponse, j'ai employé le terme "objet géométrique"
dans son sens le plus naïf, celui d'un ensemble de points vérifiant certaines
relations (exemple : un cercle ...). Je crois que c'est en ce sens qu'est
employée l'expression "objet géométrique" dans la question.

Mais le "schéma" associé à une équation est aussi un "objet géométrique"
comme le fait remarquer MissPacMan. Seulement ce n'est pas le même
"objet géométrique" que dans le paragraphe ci-dessus (le schéma associé
à x^2+y^2=1 n'est pas un cercle). Le schéma est l'objet géométrique fondamental
à partir duquel on peut retrouver les objets géométriques "naïfs" en se plaçant
sur différentes algèbres.

Remarque pour MissPacMan sur "l'intérêt de la chose" : il y a toujours deux façons de penser à un schéma,
soit comme à un objet géométrique soit comme à un foncteur vérifiant certaines propriétés. Je ne crois pas qu'un de ces points de vue soit plus important qu'un autre : ils sont tous les deux très utiles.

[A voir en vidéo sur Futura]