Bonjour à tous, j'aimerais avoir votre avis sur mon raisonnement concernant une problématique de FFT :

Je travaille actuellement sur une machine dont la fonction est d'assembler des câbles LAN. La machine est jonchée de plusieurs capteurs de surveillance et d'une unité de traîtement faisant des FFT sur les signaux issus des capteurs. Si, à un moment donné et pour une fréquence donné, la valeur de la TF d'un signal capteur dépasse un certain gabarit alors cela veut dire que le câble n'est pas bon.

Mon but ici est de déterminer comment je dois modifier mon gabarit "brut" de manière à tenir compte du fenêtrage que je fais sur le signal. Autrement dit, ma question est la suivante : si :
-- x[t] est mon signal (numérisé),
-- f[t] la fonction de fenêtrage que je lui applique,
-- X[f] la transformée de Fourier discrète de mon signal,
-- G[f] mon gabarit de base
-- Gmod[f] mon gabarit modifié

alors comment déterminer Gmod(f) de telle manière à ce que ?

Le raisonnement que j'ai suivi jusque là a été le suivant :

Soit le signal théorique qui atterrirait pile poil sur le gabarit à respecter, c'est à dire tel que . On a alors .

Par définition de la DFT :




Le deuxième groupe d'équations peut également s'écrire :



Tout celà est compilable sous forme matricielle de la manière suivante : (voir image jointe, trop long à faire en TEX)

Cela revient donc à résoudre un système d'équations linéaire à second membre non-nul et de taille 2N : N inconnues qui correspondent au gabarit modifié pour chaque pas de fréquence et N autres qui correspondent à X_RL (inutile dans l'absolu mais intermédiaire nécessaire de calcul).

Mais je ne suis pas sûr de mon raisonnement : est-ce que le résultat correspond réellement à ce que je recherche (à savoir un gabarit modifié tel que le signal non-fenêtré respecte le gabarit voulu de base ) ? Le point qui me paraît le plus critique dans mon raisonnement est que j'ai viré la valeur absolue dans ma définition de la DFT. Or bien sûr en pratique j'ai , j'ai donc supposé ici que le gabarit de base était un nombre réel à la base. Mais celà ne fausse-il pas tout mon raisonnement ? Je peux très bien aboutir au même gabarit en prenant un gabarit de base avec une partie réelle plus petite que sa valeur absolue...

Voilà donc j'aimerais votre avis sur la question. S'il y a des choses pas claires dites moi

Cordialement,
JoeDalt