Le triangle glissant

[Seirios]

Bonjour à tous,

On peut trouver sur ce site le problème suivant :

On découpe un triangle en morceaux polygonaux. Puis, en translatant indépendamment chacun de ces morceaux, on reconstitue un nouveau triangle. Prouver que le nouveau triangle est un translaté du premier.

Je pense en avoir trouver une solution, que je joins à ce message. Pour que le raisonnement soit le plus clair possible, voici l'idée générale :

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À chaque angle d'un polygone, on peut associer naturellement un semi-cône que l'on choisit de centrer en l'origine ; on parle d'angle plein. On peut sommer des angles pleins dans le sens de la différence symétrique (en fait une version légèremment modifiée). Si l'on découpe un triangle T en polygones, on peut remarquer que la somme de tous les angles pleins des différents polygones est liée à la somme des trois angles pleins du triangle (on parlera du polycône du triangle) ; il y a même égalité si l'on choisit bien le découpage.

On trouve alors deux invariants lors de la transformation : l'aire du triangle et son polycône. Il se trouve justement que ces invariants caractérisent un triangle à translation près.

Cela dit, je serais intéressé par d'autres solutions. En voyez-vous ? Je me disais qu'il était peut-être possible de s'en sortir avec quelques connaissances en théorie des graphes.

Seirios
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[Dlzlogic]

Bonjour,
J'avoue que je n'ai pas compris la finesse (ou la difficulté) du problème.
Soit A un sommet du triangle, c'est aussi un sommet de polygone.
On déplace ce polygone par translation.
A partir du triangle de base, amputé qu'un polygone, on découpe un polygone, pour le raisonnement, adjacent au premier polygone. ce polygone, après translation ne peut trouver de place qu'à côté exactement du premier polygone, le côté de triangle passant par A est unique, et ainsi de suite.
Donc on reconstruit un triangle, identique au premier, suivant la translation du premier.
Autre méthode de démonstration : les côtés des polygones crées sont la somme d'autres côtés de polygones. Les longueurs de ces côtés sont des réels. Chaque côté sera la somme d'un ensemble de côtés élémentaires. Une fois reconstruit, les sommes devront être égales entre elles. Comme il s'agit de réels, il n'y a qu'une solution possible.

Pour contre, on pourrait se poser le problème différemment : peut-on trouver un découpage en polygones qui permette la construction d'un triangle de forme différente, mais naturellement de même aire ? (on ignore les cas particuliers éventuel).

Je n'ai pas compris la notion de semi-cône.

Je rebondis sur ce type de problème.
On sait que l'on peut colorier un ensemble de polygones adjacents avec seulement 4 couleurs, de façon que 2 polygones adjacents aient des couleurs différentes. Exemple, colorier les départements.
Question : écrire l'algorithme qui permet de faire cela.

[Tryss]

Cela dit, je serais intéressé par d'autres solutions. En voyez-vous ?

Il me semble qu'il est impératif de préciser que l'on découpe le triangle en un nombre fini de morceaux, sinon je sens le piège...


Sinon, une petite remarque : il suffit de raisonner sur les triangulations du triangle, puisqu'on peut trianguler chaque polygone. Ceci dit, je ne sais pas si ça a un intérêt.

A partir du triangle de base, amputé qu'un polygone, on découpe un polygone, pour le raisonnement, adjacent au premier polygone. ce polygone, après translation ne peut trouver de place qu'à côté exactement du premier polygone, le côté de triangle passant par A est unique, et ainsi de suite.

C'est grossièrement faux, il n'y a pas qu'une seule solution : prend un triangle, découpe un carré dedans, coupe le carré en 2 verticalement, puis un des cotés en diagonale, maintenant remonte le tout en inversant les deux rectangles (celui de droite et de gauche) : ces deux triangles n'ont pas le même "montage" par translation

[Seirios]

Autre méthode de démonstration : les côtés des polygones crées sont la somme d'autres côtés de polygones. Les longueurs de ces côtés sont des réels. Chaque côté sera la somme d'un ensemble de côtés élémentaires. Une fois reconstruit, les sommes devront être égales entre elles. Comme il s'agit de réels, il n'y a qu'une solution possible.

Je ne vois vraiment pas l'argument...

Pour contre, on pourrait se poser le problème différemment : peut-on trouver un découpage en polygones qui permette la construction d'un triangle de forme différente, mais naturellement de même aire ? (on ignore les cas particuliers éventuel).

Le problème mentionné stipule justement que c'est impossible, à moins que je n'aie pas vraiment compris ta phrase.

Je n'ai pas compris la notion de semi-cône.

Pour moi, un cône est géométriquement de la forme ; par semi-cône, je pense à quelque chose de la forme .

Il me semble qu'il est impératif de préciser que l'on découpe le triangle en un nombre fini de morceaux, sinon je sens le piège...

J'en ai effectivement fait l'hypothèse dans ma résolution, je pense que c'est plus ou moins explicite dans l'énoncé, même s'il serait intéressant de savoir si cela la conclusion tient toujours.

Sinon, une petite remarque : il suffit de raisonner sur les triangulations du triangle, puisqu'on peut trianguler chaque polygone. Ceci dit, je ne sais pas si ça a un intérêt.

Je me suis fait la même réflexion, mais je n'ai rien trouvé dans cette direction...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Dlzlogic]

@Tryss
J'ai pas compris la remarque.
Si on découpe un carré dans un triangle puis etc. je ne vois pas comment on peut reconstruire un triangle sinon, à l'identique.
Si je commence par un sommet, c'est pour simplifier l'explication. On peut recommencer par la fin, on doit reconstruire un triangle, et on ne peut que ré-assembler les côtés qu'à l'identique.
Naturellement, si on a découpé deux figures identiques, elles sont interchangeables.

@Serios,
Dans le triangle reconstitué, les marques de découpages vont former des segments de droite. Soit, la somme de quelques éléments dans le triangle résultat sera une longueur, donc un nombre réel.
Ces différents éléments proviennent du découpage du triangle origine. Les longueurs étant des réels, il n'y a qu'une façon de les additionner pour obtenir le même résultat, c'est à l'identique.

La question d'origine portait sur la transformation de l'un à l'autre par translation. Ma variante envisage que les 2 triangles aient la même aire, mais pas la même forme, c'est à dire ne soient pas superposables.

[Dlzlogic]

Petit complément;
Il s'agit d'un triangle, donc il détermine un plan.
Les translations peuvent se faire dans l'espace; mais une translation ramènera les figures dans le plan du triangle d'origine. C'est pour cette raison que je ne comprenais pas l'utilisation du simili-cône.
Le découpage en triangles facilite la compréhension, en effet les longueurs des côtés de ces triangles sont des réels, donc, ils n'ont qu'un seul côté d'un seul triangle qui puisse correspondre.
Si tous les triangles élémentaires crées sont équilatéraux et identiques, il sont interchangeables, sauf au moins 3 qui sont au sommets du triangle d'origine.

[Tryss]

@Tryss
J'ai pas compris la remarque.
Si on découpe un carré dans un triangle puis etc. je ne vois pas comment on peut reconstruire un triangle sinon, à l'identique.
Si je commence par un sommet, c'est pour simplifier l'explication. On peut recommencer par la fin, on doit reconstruire un triangle, et on ne peut que ré-assembler les côtés qu'à l'identique.
Naturellement, si on a découpé deux figures identiques, elles sont interchangeables.

Un exemple de ce que je voulais dire :



Ces deux triangles ne sont pas "montés" de la même façon, bien que le résultat final soit identique. Mais qu'est ce qui prouve qu'il n'y a pas une façon de découper le triangle, tel qu'il existe (au moins) deux façons d'assembler les morceaux pour donner deux triangles différents? (non superposables)

C'est, je le rappelle, la question de départ

[Seirios]

@Serios,
Dans le triangle reconstitué, les marques de découpages vont former des segments de droite. Soit, la somme de quelques éléments dans le triangle résultat sera une longueur, donc un nombre réel.
Ces différents éléments proviennent du découpage du triangle origine. Les longueurs étant des réels, il n'y a qu'une façon de les additionner pour obtenir le même résultat, c'est à l'identique.

Je ne vois vraiment pas ce que cela prouve... Les longueurs sont préservées, et alors ? Rien n'indique que le résultat ne pourrait pas être le même triangle mais tourné de quatre-vingt-dix degrés.

La question d'origine portait sur la transformation de l'un à l'autre par translation. Ma variante envisage que les 2 triangles aient la même aire, mais pas la même forme, c'est à dire ne soient pas superposables.

Justement, on prouve ici que les deux triangles sont nécessairement superposables.

Concernant le semi-cône, je voulais bien sûr parler de .

[Dlzlogic]

Dans le triangle reconstitué, les marques de découpages vont former des segments de droite. Soit, la somme de quelques éléments dans le triangle résultat sera une longueur, donc un nombre réel.
Ces différents éléments proviennent du découpage du triangle origine. Les longueurs étant des réels, il n'y a qu'une façon de les additionner pour obtenir le même résultat, c'est à l'identique.

Je ne vois vraiment pas ce que cela prouve... Les longueurs sont préservées, et alors ? Rien n'indique que le résultat ne pourrait pas être le même triangle mais tourné de quatre-vingt-dix degrés.

Parce que au moins l'une des pièces résulte d'une translation.

La question d'origine portait sur la transformation de l'un à l'autre par translation. Ma variante envisage que les 2 triangles aient la même aire, mais pas la même forme, c'est à dire ne soient pas superposables.

Justement, on prouve ici que les deux triangles sont nécessairement superposables.

Ma question subsidiaire, était de savoir si on pouvait créer au autre triangle de même aire, hors mis toute translation.
C'est un peu plus difficile, à mon avis, mais j'ai une idée.

Dans ce genre de problème, la difficulté principale est d'accepter ou non une démonstration.
La seule contradiction possible est de donner un contre-exemple, ce qui est impossible dans le cas présent.

Pour mémoire, sur un autre forum, j'ai proposé un défi assez comparable (lu dans une revue professionnelle). On m'a répondu, "mais c'est évident", suivi une petite ligne. Or, il se trouve que cette petite ligne était la première (parce que évidente, mais utile à préciser) d'une démonstration d'une page.

L'algorithme sur les 4 couleurs me parait plus intéressant, puisqu'on peut coder et vérifier le résultat.

[toothpick-charlie]

Ces deux triangles ne sont pas "montés" de la même façon, bien que le résultat final soit identique.

quel est le plus petit nombre de morceaux autorisant 2 assemblages différents? (moins de 6 donc)

[Seirios]

On peut découper deux petits carrés dans le triangle et les permuter, ce qui fait trois morceaux.

[Seirios]

Parce que au moins l'une des pièces résulte d'une translation.

Mais toutes les pièces sont translatées par hypothèse !

Ma question subsidiaire, était de savoir si on pouvait créer au autre triangle de même aire, hors mis toute translation.
C'est un peu plus difficile, à mon avis, mais j'ai une idée.

Cela ne sert à rien de répéter la même chose, ta phrase me reste tout aussi incompréhensible. De quelle transformation parles-tu exactement ?

Dans ce genre de problème, la difficulté principale est d'accepter ou non une démonstration.
La seule contradiction possible est de donner un contre-exemple, ce qui est impossible dans le cas présent.

Je propose justement une démonstration...

[toothpick-charlie]

On peut découper deux petits carrés dans le triangle et les permuter, ce qui fait trois morceaux.

je vois pas comment. Moi j'arrive à 4 morceaux au minimum mais sans preuve que 3 est impossible. Je ne parle pas du fait de réassambler le triangle avec les mêmes morceaux aux mêmes endroits ou pas, je parle de découpages qui ne se superposent pas (si tu superposes le triangle après au triangle avant, il y a des coupures qui ne se superposent pas).

[Seirios]

D'accord, j'avais mal compris. Effectivement, j'arrive également à quatre morceaux sans arriver à descendre en-deçà. C'est un problème intéressant.

[toothpick-charlie]

autre question : il est facile de voir que cette propriété est fausse pour tous les polygones autres que les triangles : pour tout n > 3 il existe un polygone à n côtés et un découpage de ce polygone tel qu'en réassemblant des translatés des morceaux, on reconstitue un polygone à n côtés non semblable au premier (il suffit de 2 morceaux).

cependant, je devine qu'il doit exister, (pour chaque n>3 ?), certains polygones pour lesquels quel que soit le découpage, on est forcé de réassembler les morceaux en un polygone semblable au polygone initial. Ce serait intéressant de trouver une cns (sur les angles aux sommets peut-être) pour que ce soit le cas.

[Dlzlogic]

Bonjour,
Ce crois que si on commence par découper un carré dans un triangle, on se complique la vie, sauf si on choisi le seul carré possible relatif à une base.

Concernant la translation, je me demande s'il ne s'agit pas tout simplement d'une technique moderne pour dire "superposable". Imaginons que ce soit le cas.
Alors la question pourrait être la suivante : on découpe un triangle en plusieurs morceaux. Comment démontrer qu'il n'y a qu'une seule façon de ré-assembler les morceaux pour former un triangle.
Avec cette hypothèse, ma réponse est la suivante, la longueur des traits de découpe étant des nombres réels, les côtés ne peuvent se raccorder que de la même façon qu'ils ont été découpés.
Si on a découpé un maximum de triangles équilatéraux égaux, ceux-ci sont interchangeables, puisqu'ils ne sont pas différents, mais les 3 ou 4 triangles correspondant aux sommets n'ont qu'une seule position possible par rapport à leurs voisins d'origine.
C'est la conséquence directe que les longueurs des côté d'un triangles sont des nombre irrationnels.

[Médiat]

Bonjour

Vous êtes complètement à côté de la plaque depuis le début de ce fil (voire HS), vous devriez relire l'énoncé et essayer de le comprendre.

Quant à :

C'est la conséquence directe que les longueurs des côté d'un triangles sont des nombre irrationnels.

C'est manifestement faux !

[Dlzlogic]

Bonjour Médiat,
C'est vrai que j'ai du mal à comprendre l'énoncé. Je viens de le relire.
1- on découpe des morceaux
2- on les translate indépendamment
3- on rassemble les morceaux, donc toujours par translation
Conclure que l'on obtient un triangle translaté du premier.
Ais-je oublié ou rajouté quelque-chose ?

"C'est la conséquence directe que les longueurs des côté d'un triangles sont des nombre irrationnels."
Qu'est-ce qui est manifestement faux
Que les longueurs des côtés d'un triangle sont des nombres irrationnels ?
Que la conclusion de cette question en est une conséquence directe ?

[toothpick-charlie]

Qu'est-ce qui est manifestement faux
Que les longueurs des côtés d'un triangle sont des nombres irrationnels ?

c'était déjà faux du temps de Pythagore...

[Dlzlogic]

Alors il doit y avoir un problème de vocabulaire.
Donc les longueurs des côtés d'un triangle peuvent se mettre sous la forme A=a/x ; B=b/y ; C=c/z
où A,B,C sont les longueurs des côtés et a,b,c,x,y,z des entiers?

[Par pitié éviter de me donner l'exemple contraire 3-4-5, et tous ceux qui peuvent être obtenus par homothétie)]

[toothpick-charlie]

les côtés d'un triangle peuvent prendre par exemple les valeurs 1,1,1 (un triangle équilatéral de côté 1). C'est curieux que tu ne saches pas ça...

[Dlzlogic]

Oui, je m'attendais effectivement à un truc comme ça.
Si un arbre cache une forêt, alors les forêts n'existent pas.
Ce n'est pas parce qu'on peut trouver un ou des cas où les côtés d'un triangle sont égaux à des nombres entiers que l'affirmation "les côtés d'un triangle sont des nombres irrationnels" est "complètement fausse".
On peut aussi traiter le problème avec un triangle plat, on triangle réduit à un point ou je ne sais quoi d'autre.

D'ailleurs, ce point me parait tout de même fondamental, en particulier dans le traitement informatique. Si on imagine que deux nombres réels peuvent être égaux, c'est à dire comparer en toute tranquillité et en toute innocence l'égalité de deux nombres réels, on se promet de beaux jours.
On voit des conséquences comparables en matière de proba, de calage de plans etc.
On en arrive à la situation suivante : trouver un cas ou une raison pour prouver que le problème impossible, même si ce cas ou cette raison n'est que théorique.
Pour un exposé complet et exhaustif, il est bon de le préciser, mais si on en fait un cas général, je doute qu'on puisse arriver à quoi que ce soit de positif.

Pardon pour ce long baratin, mais j'ai des exemples (ie des précédents) où à cause ce cette façon de raisonner, des discussions intéressantes ont fini en pugilat.

[Médiat]

Merci de ne plus polluer ce fil avec vos hs

Médiat, pour la modération

[Tryss]

J'en ai effectivement fait l'hypothèse dans ma résolution, je pense que c'est plus ou moins explicite dans l'énoncé, même s'il serait intéressant de savoir si cela la conclusion tient toujours.

En fait, il me semble que c'est "assez facile" de montrer que l'on peut alors reconstruire n'importe quel triangle de même aire :

On note l'ensemble des points rationnels du nouveau triangle

Ensuite, on prend notre triangle T, on place son centre de gravité sur , et on découpe ce qui dépasse, puis

1) On découpe en triangle les morceaux que l'on a récupéré (possible, car ce qui dépasse est nécessairement un polygone),
2) On choisi un triangle (le plus grand en terme d'aire, pour éviter de possibles problèmes de convergence),
3) On place son centre de gravité sur , et on découpe ce qui dépasse/a déjà été recouvert.

On réitère une infinité dénombrable de fois le procédé

A la fin, tout les points rationnels ont été recouvert par un triangle (donc un ouvert), et par densité, on a recouvert tout les points du triangle.


Bon, pour une démonstration rigoureuse, il faudrait démontrer que le procédé ne s'arrête pas avant d'avoir recouvert tout les points du triangle et qu'il n'y a pas de problèmes "bizarres" (je soupçonne qu'il doit falloir une procédure spéciale si un des sommets touche un coté, ou inversement, sinon on risque d'obtenir le triangle moins quelques points)

Ce n'est pas parce qu'on peut trouver un ou des cas où les côtés d'un triangle sont égaux à des nombres entiers que l'affirmation "les côtés d'un triangle sont des nombres irrationnels" est "complètement fausse".

Tu as visiblement un problème avec la logique élémentaire.

Si je dis "les chemises sont blanches", cette phrase est fausse, puisqu'il existe au moins une chemise qui n'est pas blanche... Qu'il existe beaucoup de chemises qui soient blanches n'y change absolument rien.


Quand tu dis "les côtés d'un triangle sont des nombres irrationnels", il suffit d'un seul contre exemple pour que ta phrase soit fausse

[toothpick-charlie]

Oui, je m'attendais effectivement à un truc comme ça.
Si un arbre cache une forêt, alors les forêts n'existent pas.
Ce n'est pas parce qu'on peut trouver un ou des cas où les côtés d'un triangle sont égaux à des nombres entiers que l'affirmation "les côtés d'un triangle sont des nombres irrationnels" est "complètement fausse".

un triangle avec des côtés entiers ça n'a rien d'exceptionnel : si tu te donnes 3 entiers (ou rationnels) positifs tels que le plus grand est plus petit que la somme des deux autres, il y a un triangle qui a ces nombres pour côtés. Bien sûr tout ça ne fait qu'une infinité dénombrable de triangles (à déplacements près) et donc en un sens ils sont quand-même exceptionnels, mais tu ne peux pas supposer dans ce problème que les côtés sont irrationnels (ce qui d'ailleurs ne me semble pas jouer un grand rôle)

[Dlzlogic]

Oui, naturellement, mais la question n'est pas là.
Si on découpe dans ce triangle, quel qu'il soit, des triangles selon l'hypothèse proposée, et soit un côté AB quelconque, délimitant 2 triangles, il est forcément irrationnel. Si sa longueur peut d'exprimer par un nombre entier dans le système d'échelle voulu, au moins l'un des deux autres ne sera pas rationnel, à fortiori entier (cf. les relation métriques des triangles quelconques, ou scalène, si vous voulez).
Donc ce côté AB, irrationnel ou pas selon la chance, ne peut être mis en coïncidence qu'avec ce même côté du polygone adjacent.
Il pourrait rester à démontrer qu'on ne peut pas découper un triangle en plusieurs triangles dont tous les côtés auront un autre côté égal, donc, forcément pas irrationnel. C'était l'idée de ma question subsidiaire : découpage soigneusement étudié.
Naturellement le triangle équilatéral découpé en 4 triangles équilatéraux est un contre-exemple, mais le résultat est le triangle équilatéral superposable au triangle de base, donc on n'a pas réussi à former un autre triangle.
PS1 j'ai un peu de mal à comprendre l'association "infinité" + "dénombrable".
Je ne pense pas que ce soit du domaine de la "logique élémentaire", mais plutôt de sémiologie.
PS2, Quand on dit "un triangle", pour moi, ça veut dire un triangle quel qu'il soit, isocèle, rectangle, quelconque, équilatéral, scalène, et pourquoi pas sphérique.

[Tryss]

PS1 j'ai un peu de mal à comprendre l'association "infinité" + "dénombrable".
Je ne pense pas que ce soit du domaine de la "logique élémentaire", mais plutôt de sémiologie.

Il s'agit simplement de mathématiques. Cadeau :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_d%C3%A9nombrable

[toothpick-charlie]

Donc ce côté AB, irrationnel ou pas selon la chance, ne peut être mis en coïncidence qu'avec ce même côté du polygone adjacent.

Naturellement le triangle équilatéral découpé en 4 triangles équilatéraux est un contre-exemple, mais le résultat est le triangle équilatéral superposable au triangle de base, donc on n'a pas réussi à former un autre triangle.

tu pars de n'importe quel triangle, à côtés rationnels ou pas. Tu relies les 3 milieux des 3 côtés. tu as découpé ton triangle en 4 triangles. C'est facile de voir que les 3 triangles contenant les sommets du triangle initial sont semblables et donc tu peux les échanger. Ainsi tu vois que ton idée qu'il faut recoller les polygones qui étaient adjacents le long de leur arête commune est fausse.

[Seirios]

Histoire de recadrer la discussion, quelqu'un a-t-il regarder la preuve que je propose ? Manque-t-elle de clarté ?

Sinon, les questions posées par toothpick-charlie plus haut sont également intéressantes.

[Tryss]

Histoire de recadrer la discussion, quelqu'un a-t-il regarder la preuve que je propose ? Manque-t-elle de clarté ?

Sinon, les questions posées par toothpick-charlie plus haut sont également intéressantes.

Deux remarques, juste en passant et sans avoir trop réfléchi sur le sujet :
- Primo, j'ai un peu de mal à voir en quoi le polycône caractérise le triangle, dans l'idéal j'expliciterai un peu plus
- Deuxio, et là c'est plus gênant : quand tu dis "en choisissant bien le découpage", tu imposes un découpage particulier, que ce passe t'il si le découpage n'est pas "bien choisi"? On pourrait en effet imaginer qu'il soit "bien choisi" pour un triangle, et "mal choisi" pour un autre, ce qui donnerai, pour les mêmes polygones, deux polycônes différents. Ceci dit, est ce qu'une triangulation est toujours un découpage qui est "gentil"? Si c'est le cas, pas de problème (suffit de trianguler notre découpage quelconque)


Sinon, pour la question de Toothpick-charlie, je pense que l'on peut raisonner sur les sommets du grand triangle :
- Déjà on peut remarquer que pour chaque sommet du triangle, il y a au plus un seul coin possible par pièce
- Si les 3 coins appartiennent à la même pièce, alors le problème revient à savoir si on peut découper un polygone quelconque en 2 morceaux non superposable, et que l'on puisse réarranger pour former le même polygone (la réponse est non)
- Si 2 coins appartiennent à la même pièce, alors tout réarrangement des pièces gardera ces deux coins là pour la même pièce (en effet, pour des questions de longueurs, c'est la seule possibilité pour que la pièce "rentre" dans le triangle, cf le théorème de Thales ), alors le problème revient à savoir si on peut découper un polygone quelconque en 2 morceaux non superposable, et que l'on puisse réarranger pour former le même polygone
- Si un coin appartient à chaque pièce... faut que je réfléchisse