Bille glissant sur un cône

[invite8cdd328e]

Bonjour,

Voila pour me préparer à la rentré je refait des exo ( extrait d'un sujet de concours dont je ne trouve pas la correction) et j'aimerais de l'aide sur celui ci :
Une bille roule dans un cône de demi angle alpha et d'aze Oz sans frottement . On utilise les coordonnées cylindrique ( r,theta,z)

1)établir un bilan des forces s'appliquant sur la bille ( en détaillant les différentes composantes) .
2)établir 3 équations différentielles grâce a la relation fondamentale de la dynamique et une relation r dtheta/dt la vitesse initial et.
3) Dans quel cas le mouvement est circulaire , est t'il uniforme ??
4) Déterminer r(t) et Em.

Bon je suis complétement bloqué face a ce problème . Je sais qu'il y a le poids , et la réaction normal mais je n'arrive pas a distinguer leur composantes. Je présume que les 3 équations différentielles viendront des projections sur les trois axes.

Pouvez vous m'aidez s'il vous plait ?

ps: il y a un déja un sujet similaire sur le forum mais il date un peu et les questions ne sont pas les même ou vu de la même façon j’espère que cela ne posera pas de problème
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[phys4]

Bon je suis complétement bloqué face a ce problème . Je sais qu'il y a le poids , et la réaction normal mais je n'arrive pas a distinguer leur composantes. Je présume que les 3 équations différentielles viendront des projections sur les trois axes.

Il y a un poids, cela suppose que vous êtes sur une planète quelque part? il existe donc une valeur d'accélération g.
Comment est orienté le cône par rapport à la pesanteur?
Tout cela pour insister sur le fait, qu'il faut donner des énoncés assez complets, sinon personne ne peut comprendre.

Si je suppose que l'axe du cône est vertical, la pointe du cône vers le bas. La vitesse et l'accélération de la bille se séparent en deux composantes, horizontales et verticales.
La réaction du cône est perpendiculaire à sa surface, il semble donc judicieux de projeter les composantes sur une génératrice du cône et sa perpendiculaire.
Au revoir.

[invite8cdd328e]

Oui excusez pour le manque d'information.

J'ai fait comme tu m'a conseiller et je trouve R=-Rcos(alpha),0,Rsin(alpha)
le poid : 0,0,-mg

vitesse : r(point),r*theta(point),z(poin t)
accélération : (r(pointpoint)-r*theta^2(point)),2r(point)the ta(point)+r*theta(pointpoin),z (pointpoint).

Cela est exact ??

[phys4]

vitesse : r(point),r*theta(point),z(poin t)
accélération : (r(pointpoint)-r*theta^2(point)),2r(point)the ta(point)+r*theta(pointpoin),z (pointpoint).

Cela est exact ??

Oui, ces équations sont les plus générales en coordonnées cylindriques en en 3D, il faudrait les projeter sur le cône, car vous n'avez pas la réaction du cône.
Il faut que le mouvement reste sur la surface conique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

Je souscris aux conseils de phys4 : prendre comme variables x la distance au sommet sur la génératrice et théta l'angle de rotation (il n'y a que 2 variables en fait)
Le rayon r est une variable intermédiaire. Déjà le moment cinétique autour de Oz est constant (pas de couple autour de Oz) et on en déduit que r² théta_point est constant, donc aussi x² théta_point = C
Ensuite, le plus simple est de raisonner dans le référentiel tournant, calculer la force centrifuge, la projeter sur la génératrice et faire pareil avec le poids.
On trouve une équation en x assez tordue qui contient C et l'angle alpha.
Sûr qu'en mécanique lagrangienne, il suffit de tourner les manivelles.

[invite473b98a4]

je crois qu'il y a une coquille qui s'est glissée, déjà en posant des sinus alpha etc, tu est malgré tout en coordonnées cartésiennes, car en coordonnées cylindrique , et d'ailleurs on préfère souvent utiliser .
En plus de ça, je crois que tu as projeté sur au lieu de .

Je suis d'accord avec ce que dit jeanpaul et phys4 dans le cas où le rayon est constant, dans le cas général on a l'apparition d'une force "de coriolis" tangentielle qui prend en compte la variation du rayon.

[invitea3eb043e]

Prendre en compte la force de Coriolis ou bien dire que le moment cinétique est constant, ça revient au même.
Pour un tel exo, le plus astucieux est en fait d'écrire 2 équations pour 2 inconnues : la conservation du moment cinétique donc et la conservation de l'énergie totale.
L'avantage est que ça donne une équation du 1er ordre (x_point et pas x_seconde). L'équation à laquelle on aboutit n'est pas trop simple, je dois dire.

[invite473b98a4]

tout à fait, mais jusqu'ici nous n'avons parlés que de forces alors...