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Pgcd de carrés



  1. #1
    David51

    Pgcd de carrés

    Bonjour.
    Comment prouver la propriété suivante ? pgcd(a²;b²)=pgcd(a;b)²

    J'ai commencé ainsi :
    Soit d=pgcd(a;b).
    d/a et d/b donc d²/a² et d²/b².
    Donc d²/pgcd(a²;b²)
    Ce qui prouve que d² pgcd(a²;b²).
    Mais comment prouve-t-on l'égalité ?
    Merci d'avance pour toute aide.

    -----


  2. #2
    nissart7831

    Re : Pgcd de carrés

    bonjour,

    Raisonne dans l'autre sens en posant d2 = pgcd(a²,b²). Qu'est ce ça signifie et que peut on en déduire pour d2 par rapport à a et b ?

  3. #3
    rvz

    Re : Pgcd de carrés

    Soit e = pgcd(a^2,b^2)
    Alors, tu peux décomposer e en produit de facteurs premiers d'une unique façon. Montrons que forcément, tous les nombres premiers qui apparaissent dans la décomposition apparaissent avec une puissance paire.
    En effet, si p^i /e, p premier, et p^{i+1} ne divise pas e alors, p^i /a^2, p^i /b^2, et p^{i+1} ne divise pas a^2 ou b^2. Donc p apparait dans la décomposition en facteurs premiers de a^2 ou de b^2 avec la puissance exactement i. Or le décomposition en facteurs premiers de carrés ne fait intervenir que des puissances paires.
    Donc e est un carré, et si je pose f tel que f^2 = e, f est un entier qui divise a et b (cf là encore la décomposition en facteurs premiers). Donc f/ d. Donc e/d^2.
    Donc e = d^2

    __
    rvz

  4. #4
    David51

    Re : Pgcd de carrés

    Merci beaucoup pour votre aide.
    A bientôt.

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