Analyse fonctionnelle

[inviteba11de6d]

Bonjour,

Voila j'ai quelques questions que j'aimerai vous soumettre concernant l'analyse fonctionnelle:

1)Dans mon cours on a parlé du complété pour un espace métrique (X, d). En guise d'exemple nous avons par exemple R un complété de Q mais je ne trouve pas d'exemple non triviaux ? (J'ai pensé aussi à Mn(R) un complété de Gl_n(R))

2)Ensuite nous avons parlé des topologies naturelles sur l'ensemble des fonctions continues bornées de X à valeurdans Y (X, Y sont eux espaces métriques) alors il est dit qu'il y a la topologie de la convergence uniforme et la topologie de la convergence simple... seulement je n'arrive pas à "voir" la forme de ces ouverts ?

Voila merci par avance de votre aide.
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[Seirios]

Bonsoir,

1)Dans mon cours on a parlé du complété pour un espace métrique (X, d). En guise d'exemple nous avons par exemple R un complété de Q mais je ne trouve pas d'exemple non triviaux ? (J'ai pensé aussi à Mn(R) un complété de Gl_n(R))

est effectivement un complété de . Plus généralement, si est complet et si est un ouvert dense, alors est un complété de .

Un exemple moins trivial vient du corps des fractions rationnelles muni de la distance , où est la valuation -adique : si est un polynôme, , et si est une fraction rationnelle, . Un complété est le corps des séries de Laurent (ie. des séries formelles) muni de la distance , où l'ordre d'une série formelle (avec ) est le plus petit tel que .

2)Ensuite nous avons parlé des topologies naturelles sur l'ensemble des fonctions continues bornées de X à valeurdans Y (X, Y sont eux espaces métriques) alors il est dit qu'il y a la topologie de la convergence uniforme et la topologie de la convergence simple... seulement je n'arrive pas à "voir" la forme de ces ouverts ?

Pour la topologie de la convergence simple, il faut regarder la topologie produit. Pour la convergence uniforme, on introduit la distance pour définir la topologie.

[inviteea028771]

1)Dans mon cours on a parlé du complété pour un espace métrique (X, d). En guise d'exemple nous avons par exemple R un complété de Q mais je ne trouve pas d'exemple non triviaux ? (J'ai pensé aussi à Mn(R) un complété de Gl_n(R))

Pour trouver des exemples, il suffit de prendre un espace complet, et un sous ensemble dense de cet espace.

Par exemple : l'ensemble des fonctions continues sur [a,b] à valeur dans R pour la norme infinie peut être vu comme le complété de l'ensemble des polynômes R[X]


Le problème c'est que c'est souvent délicat de travailler avec des objets construits par complétion : c'est une construction assez abstraite, et on préfère plutôt travailler avec des représentations de ce que l'on a construit

[Seirios]

Comme autres exemples, tu peux regarder les nombres p-adiques , qui sont des complétions de pour d'autres métriques.

[A voir en vidéo sur Futura]