Bonjour, j'ai une question à propos d'un exercice: Soit E un K-espace vectoriel, et u un endomorphisme de E. On suppose qu'il existe un et un seul endomorphisme v de E tel que uv=IdE. Monter que u est un automorphisme.
J'ai considéré P la matrice de u dans B(une base de E) et Q la matrice de v dans B. On aura donc PQ= In, ainsi P et Q sont inversibles, alors u et v sont des automorphismes. Je n'ai pas utilisé l'argument de l'unicité de v, donc je ne sais pas si ma réponse est juste.
Il faut montrer que PQ = QP = I
Ce n'est pas nécessaire, puisque si PQ=I, alors det(PQ)=det(P)det(Q) est différent de 0, donc det(P) et det(Q) sont différents de 0, d’où P et Q sont inversibles.
oui, tu as raison.
et l'unicité de v peut servir à montrer que v est bien l'inverse de u
Ma réponse est donc juste, merci!
Bonjour,
Le formalisme matriciel n'est utilisable qu'en dimension finie ! Il te reste le cas de la dimension infinie à traiter.
If your method does not solve the problem, change the problem.
Pour la culture, un contre-exemple en dimension infinie montrant que l'unicité est importante :
Soientl'espace vectoriel des suites réelles,
If your method does not solve the problem, change the problem.
Un gros indice pour montrer la propriété dans le cas général : montrer que
If your method does not solve the problem, change the problem.
Merci, j'ai totalement oublié le cas de la dimension infinie.
en dimension finie il n'y a pas besoin de faire intervenir des matrices, si tu peux utiliser le fait qu'une application linéaire est injective ssi elle est surjective. Mais c'est un peu tricher puisque c'est quasiment ce qu'on demande de démontrer.
Pas forcément, car je ne suis pas infaillibleEnvoyé par raito12
D'ailleurs on a oublié le cas de la dimension infinie
