Bonjour!
Soit (v1, v2, v3) une base de R3 et une application linéaire f telle que f(v1)=v1+v2+v3, f(v2)=v1+v2+v3, f(v3)=v1+2v2.
On définit les vecteurs w1=v1-v2, w2=v2-v3, w3=4v1+5v2+3v3
a) Montrez que (w1,w2,w3) est une base.
Je suis parti de x=av1+bv2+cv3 et j'ai calculé f(x) pour essayer de l'exprimer en fonction de w1, w2 et w3, mais je n'arrive pas à conclure... Merci pour votre aide!
salut
n'est il pas plus simple de montrer que la famille des w est libre .? (comme il y en à 3, si cette famille es libre, elle sera automatiquement une base)
Oui, en effet, c'est plus simple: j'y suis arrivé!
b) matrice de passage de la base B à la base B': j'ai trouvé (1 1 1;1 1 1;4 5 3)?
non, ça c'est la matrice de l'application f
la matrice de passage de B à B', c'est la matrices des vecteurs de B' dans la base B
OK, mais je ne sais pas comment la trouver ???
Ne serait-ce pas (1 0 4; -1 1 5; 0 -1 3)?
w1=1.v1-1.v2+0.v3
w2=0.v1+1.v1-1.v3
w3=4.v1+5.v2+3.v3
Donc la matrice de passage de B à B' serait (1 -1 0; 0 1 -1; 4 5 3) ???
la dernière était la bonne
oui, c'est laborieux!!! Merci pour votre aide...
c) soit x un vecteur de R3 dont les coordonnées dans la base B' sont (-1,2,1).
Quelles sont ses coordonnées dans la base B?
Je suppose que je dois chercher l'inverse de la matrice précédente?
oui, vous pouvez chercher l'inverse de votre matrice de passage et l'appliquer à ce vecteur. Mais ça me semble un brin laborieux.
Plus simplement, exprimer x comme combinaison linéaire des w1,w2,w3 puis remplacer ces derniers par leurs coordonée dans v1,v2,v3. ça ira plus vite
En effet, je trouve le résultat en quatre lignes de calcul!!! alors que j'ai galéré pour inverser la matrice......
d) calculer f(w1), f(w2) et f(w3) et en déduire la matrice de l'application f dans la base B'.
La matrice de f dans la base B est (1 1 1;1 1 1;4 5 3). Donc celle que l'on me demande est son inverse??? Mais avant de me lancer, il y a peut être plus simple?
toujours se lancer ! on voit après si ça cloche ^^ (là, vous auriez très vite remarquer que ça buggait )
la question est très détaillé : calculer les images de w1,w2,w3 par f trouver ces images dans dans la bonne base (ici w1,w2,w3) et vous avez la matrice (c'est la matrices de f(w1),f(w2),f(w3) dans (w1,w2,w3)
sinon, vous avez facilement la matrice de f dans la base B (je l'appel A)
vous avez la matrice de passage P de B à B' (vous l'avez calculer juste avant)
vous inversez cette matrice (ça fait un bon entrainement
et vous avez
ouest la matrice de f dans la base B'
à vous de choisir ce que vous préférez.
(selon l'enoncé, je choisirai plutot la 1er méthode !)
Hmmm, par contre, je ne vous suis pas pour l'histoire d'inverse. Pourquoi l'inverse de cette matrice serait la matrice de f dans la base B' ? (je pense qu'il y à une petite confusion)
En effet, la matrice de f dans B a un déterminant nul et n'est donc pas inversible!!!
J'ai calculé f(w1), f(w2) et f(w3) sans problème, ce qui m'a permis d'exprimer la matrice de f dans B'... C'était simple, mais j'ai besoin de reprendre tous les fondamentaux!!!!
Merci beaucoup pour votre assistance, et bon WE...
