Algèbre linéaire

[zeratul]

Bonjour,

j'ai quelques difficultés pour trouver une question :

Soit f l'endomorphisme de R³ dont la matrice sur la base canonique est
\Large A=\( \array{1&1&1\\-1&3&1\\1&-1&1}\)

Soit f l'ensemble des vecteurs x de R³ vérifiant f(x) = x.

Trouvez une base B de F.

EN fait, j'ai l'impression de m'embrouiller. D'habitude, on demande une base de Kerf ou encore de Imf, mais là, je ne sais pas trop par quoi commencer. SI j'exprime les vecteurs colonnes dans la base canonique, ça m'avancerait à qqch?

Pouvez vous me donner un tuyau svp?

Merci d'avance
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[pat7111]

Pose a priori et ecris le fait que f(x)= x

[zeratul]

Bonsoir, je n'ai pas bien compris ce que signifiais la puissance t pour x.

[taladris]

Si on pose g=f-id, la question revient à trouver une base de Ker g.
Il n'y a plus qu'à trouver la matrice de f-id.

[A voir en vidéo sur Futura]

[pat7111]

Bonsoir, je n'ai pas bien compris ce que signifiais la puissance t pour x.

c'est une transposee... Ca m'a evite de me taper un tableau pour ecrire un vecteur colonne

[zeratul]

D'accord, merci!. alors alpha, beta, gamma sont des vecteurs colonnes?

[pat7111]

Oui, un vecteur x quelconque de R^3, tu ecris la condition voulue f(x) = x ou matriciellement Ax = x et tu regardes les conditions que cela impose sur les coordonnees de x.

Comme le dit Taladris, cela revient effectivement exactement a chercher une base du noyau de f-Id

[zeratul]

Bonjour, j'ai compris finalement. J'ai trouvé comme base : (-1,1,1).
Et comme F est généré par une base d'une composante, alors dimF=1?

[pat7111]

Ah... moi je dirais plutot qui n'est pas colineaire a ton resultat.

A moins que j'aie mal copie ta matrice, mais il me semble qu'avec ton x, on a donc on n'a pas Ax=x

[zeratul]

D'accord, je verifierai mes calculs.
Sinon, j'ai une autre question : soit F le SEV de R⁴ engenfré par
(3,1,1,1), (2,0,1,0), (-1,3,-2,3). Peut-il oui ou non, être caractérisé par une seule équation cartésienne?

Je ne sais pas trop par quoi commencer.
Faut-il que je pose un vecteur de coordonnées (x;y;z;t) appartenant à ce SEV et vérifiant une certaine égalité?

Merci d'avance pour vos indications.