Du rectangle au tore, du disque à ...

[Sethy]

Bonjour à tous,

Comme le titre de mon post l'explique, je cherche la solution au problème suivant.

Si on prend un rectangle (en toute généralité) et qu'on chercher à réunir son bord supérieur au bord inférieur et le bord de droite à celui de gauche, on obtient un tore.

Je cherche à faire la même chose avec un disque.

D'après moi, cela revient à faire correspondre chaque bord du disque en avec celui en .

Est-ce que cela se tient ? Si oui, comment s'appelle cet objet ?

D'avance merci,

Sethy
-----

[invitec9d3e4ec]

Bonjour,
Ce qui est certain est que l'on n'obtiendra rien en pliant un disque sans le déformer, comme on peut le faire avec un rectangle.
Sinon, il y a eu des études intéressantes sur les transformations de surfaces et de solides (par Poincarré, Euler, Gauss ...), mais je ne suis pas expert dans ce domaine et je n'ai pas lu leurs travaux.
Sinon, bien qu'à ne pas prendre comme ouvrage de référence, il y a cette BD sympathique plutôt bien faite (et même très bien) et accessible à tous, et qui fait comprendre plusieurs concepts (ruban de Moëbius, bouteille de Klein, surface de Boys, singularités, transformations etc.) : http://www.savoir-sans-frontieres.co...OPOLOGICON.pdf (de la série Anselme Lanturlu, par J.P. Petit et G. d'Agostini, Savoir sans frontière).
Cordialement.

[Seirios]

Bonjour,

On obtient effectivement une surface connue : la plan projectif réel . Usuellement, on construit comme le quotient de par la relation : ssi pour un certain . D'une certaine manière, est donc l'ensemble des droites dans .

Maintenant, il est tout à fait possible de réduire l'ensemble que l'on quotiente (par rapport à la relation d'équivalence, on prend le même point plusieurs fois). En particulier, si l'on note où est la sphère unitaire centrée en l'origine, alors .

Seulement, est homéomorphe à un disque (il s'agit de l'hémisphère supérieure de la sphère, la projection sur le plan est un tel homéomorphisme) et la relation est exactement l'identification des éléments du bord du disque avec leur symétrique par rapport à l'origine.

[Sethy]

Merci à tous les deux pour vos réponses, d'un genre très différentes mais intéressantes toutes les deux !

Sethy

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

À noter que le plan projectif peut également être obtenu en recollant les côtés d'un rectangle, comme indiqué ici.

[invitec9d3e4ec]

Bonjour,
Intéressant ce plan projectif, je ne connaissais pas.
Sinon, je rectifie ici deux erreurs de mon message : Möbius (et non Moëbius) et Boy (et non Boys).
Cordialement.

[Amanuensis]

Pour ajouter un cas, le plan projectif s'obtient aussi en collant un disque bord à bord avec un ruban de Möbius. Cela fait la relation entre ces deux surfaces non orientables.

(Réciproquement, enlever un point ou un disque du plan projectif donne un ruban de Möbius...)