Salut à tous,
voici une petite difficulté arithmétique que je n'arrive pas à résoudre proprement ( je crois avoir réussi une implication par contraposée, de droite à gauche...) :
soient q,a,b des entiers naturels avec q>=2, alors (q^a)-1 divise (q^b)-1 ssi a divise b. j'ai essayé d'utiliser les exp et les log mais je ne suis arrivé à rien. Quelqu'un pourrait-il m'indiquer la voie sans nécessairement donner la démo complète ? Merci.
indications :
a divise b donc b=ap
(q^a)-1=((q-1)*(...) donc le second terme divise le premier.
et une petite recurrence en une ligne.
pardon, pas de recurrence.
juste manier a^(b^c)), les a b et c ici sont symbolique pas ceux de ton exercice.
Merci pour l'indication. Avec ça on a immédiatement l'implication de droite à gauche puisque (q^b)-1=((q^a)-1)*( q^a(k-1)+q^a(k-2)+...+1) mais par contre je ne vois pas comment ça vient de gauche à droite ? en procédant de manière analogue j'ai :
q^b-1=k(q^a-1) <=> (q-1)(q^(b-1)+...+1)=k(q-1)(q^(a-1)+...+1) on simplifie par q-1 puis on réitère le processus jusqu'à avoir (q-1)^(b-a)=k et là je suis bloqué.
tu t'emmeles un peu.
donc b=naEnvoyé par yaya19
q^b=q^(na)=(q^a)^n
comme
Q-1 divise (Q^n)-1
alors
(q^a)-1 divise (q^a)^n soit (q^b)-1
Oui ça j'ai bien compris, ce que j'ai fait est absolument équivalent. En revanche là on suppose a divise b, donc on n'a que l'implication de droite à gauche. Procède-t-on de manière analogue dans l'autre sens, ou y a-t-il une autre astuce ?
Mea culpa : je vois où je me suis effectivement emmêlé, et comment finir l'équivalence. Merci pour l'indication !!
