Question arithmétique

[invitef45bc3e4]

bonjour a tous j'ai des difficultés avec une demonstration

a^n/b^n === ( equivalence) a/b
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[invite30a20dba]

J'avoue ma surprise en lisant çà... cela n'est valable que si a est équivalent à b...

[invite1237a629]

Plop,

Que signifie "a équivalent à b" ? oO

[invite15e03428]

C'est quoi d'abord a et b ?!!! ce sont des entiers ou entiers relatifs!!!!

on peut rien avancer sur ça ....

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1237a629]

Entier naturel serait plus approprié ^^'

[invite35452583]

bonjour a tous j'ai des difficultés avec une demonstration

a^n/b^n === ( equivalence) a/b

Je suppose que ceci signifie "aⁿ divise bⁿ <=> a divise b".
Dans ce cas on peut supposer que a et b sont des entiers naturels.
"<=" est le plus facile, a divise b implique il existe k un entier k tel que b=ka, il n'est alors pas difficile de montrer que aⁿ divise bⁿ.
"=>" peut se démontrer par récurrence sur a.
Pour a=1 c'est évident
Pour a>1, aⁿ divise bⁿ, soit p un premier divisant aⁿ
Montrer que p divise a et donc b. Se débrouiller ensuite pour pouvoir appliquer l'hypothèse de récurrence à a/p et b/p. Conclure.

[danyvio]

Dans un excellent ouvrage d'arithmétique cité sur ce forum, mais dont je ne trouve pas instantanément les références, il était écrit que la démonstration de aⁿ|bⁿ -> a|b n'était pas triviale, et dépassait en tous cas le niveau de première ou terminale...

[danyvio]

Pour compléter mon précédent post : ci dessous un copié collé (vilain mais bon..) de l'ouvrage de
Cours d’arithm´etique
Premi`ere partie
Pierre Bornsztein
Xavier Caruso
Pierre Nolin
Mehdi Tibouchi
+ Si a et b sont deux entiers tels que an|bn pour un entier n > 1, alors a|b.
Toutes les propri´et´es list´ees pr´ec´edemment sont imm´ediates, `a l’exception de la derni`ere dont
la d´emonstration n’est pas triviale sans bagage arithm´etique. Une preuve possible consiste
`a utiliser la caract´erisation de la divisibilit´e par les valuations p-adiques

[invite8d322e93]

Et alors ? C'est pas parce que ce n'est pas trivial que c'est difficile..
Trivial = évident = rien à démontrer

[invite1237a629]

Et alors ? C'est pas parce que ce n'est pas trivial que c'est difficile..
Trivial = évident = rien à démontrer

S'il faut utiliser les valuations p_adiques, qui ne sont pas (toujours ?) abordées en terminale, je ne vois pas en quoi cela serait évident. De plus, ne pas savoir d'emblée par où passer est un critère anti-évidence

[invite8d322e93]

Non mais justement, je disais que ce n'était pas évident (non trivial) mais pas compliqué pour autant. Il y a un peu de marge entre l'évident et le difficile...

[God's Breath]

S'il faut utiliser les valuations p_adiques, qui ne sont pas (toujours ?) abordées en terminale, je ne vois pas en quoi cela serait évident. De plus, ne pas savoir d'emblée par où passer est un critère anti-évidence

Je donne une preuve détailée, en suivant l'indication de homotopie.

Il suffit de savoir que tout entier admet une unique décomposition en facteurs premiers.
Les facteurs premiers de et ceux de sont les mêmes.
Les facteurs premiers de et ceux de sont les mêmes.

Comme divisee , tout facteur premier de est facteur premier de .

Donc tout facteur premier de est facteur premier de .

Sioit donc un facteur premier de . Il apparaît dans la décomposition en facteurs premier de sous la forme et dans celle de sous la forme , donc dans celle de sous la forme ,et dans celle de sous la forme .

Comme divise , on a donc .

Ainsi les facteurs premiers de apparaissent, dans la décomposition de avec un exposant supérieur à celui qu'ils ont dans la décomposition de , donc divise .

C'est long, filandreux, on peut abréger les trivailités pour mettre en évidencecl'idée essentielle, mais ce n'est vraiment pas difficile, et ne fait appel à aucune notion "fine" d'arithmétique.

Il me semble (mais vu les auteurs cités, cela me semble normal) qu'il est un peu pédant d'introduire le terme de valuation -adique pour parler de l'exposant d'un facteur premier dans la factorisation d'un entier...

[danyvio]

Il apparaît dans la décomposition en facteurs premier de sous la forme et dans celle de sous la forme , donc dans celle de sous la forme ,et dans celle de sous la forme .

Comme divise , on a donc .

Ainsi les facteurs premiers de apparaissent, dans la décomposition de avec un exposant supérieur à celui qu'ils ont dans la décomposition de , donc divise .

J'ai l'impression qu'il manque une étape En effet, le raisonnement serait parfait si on avait aⁿ = p^un et bⁿ=p^vn ce qui n'est pas le cas.
On a plutôt a=k₁p^u et b = k₂p^v,
d'où
aⁿ = k₁ⁿp^un et bⁿ=k₂ⁿp^vn
A partir de là, comment conclure que
k₁ⁿp^un |k₂ⁿp^vn -> a|b ?

[God's Breath]

Il apparaît dans la décomposition en facteurs premier de sous la forme .

L'expression "apparaître dans la décomposition en facteurs premiers" n'a jamais voulu dire "être égal", mais bien que a est produit de puissances de facteurs premiers, parmi lesquels se trouve .

Par exemple, dans la décomposition en facteurs premiers de , apparaît sous la forme puisque .

[danyvio]

J'aimerais bien connaître la démo corrigée par le prof'

[Médiat]

J'aimerais bien connaître la démo corrigée par le prof'

Je ne vois absolument pas ce que l'introduction de valuation p-adiques peut apporter à la démonstration de God's Breath, à part remplacer une demi-ligne de raisonnement par un résultat sur ces valuations et perdre à la fois la simplicité, la lisibibilté et surtout la compréhension du résultat pour ne gagner que de la pédanterie .
Bien sur, je n'ai rien contre toi danyvio, mais contre les auteurs de ce livre qui me paraît (sur ce seul exemple difficile de généraliser ) anti-pédagogique.