arithmetique

[invited2b60f53]

bonjour , j'ai du mal du mal à faire la resolution cmplete de ce petit probleme et je srai heureux de recevoir votre pour décanter la situation.
le probleme est le suivant:
montrer qu' un en tier natuel est divible par 9 si et seulement si la smme de ses chiffres est divisible par 9.
la solution que j'ai proposé est la suivante:
soit n un entier naturel tel que n= a1a2a3...an avec a1 ,a2 ,...,an sont des entiers naturels.
supposons que a1+a2+a3+...+an est divible par 9. et demontrer que le nombre a1a2a3...an est divible par 9.
a1+a2+a3+...+an est divisible par 9 donc il existe des entiers naturels k1,k2,k3,...,kn tels que
a1+a2+a3+...+an= 9k1+9k2+9k3+...+9kn
donc a1+a2+a3+...+an= 9(k1+k2+k3+...+kn)

je suis bloqué ici (si j'avais réussi à montrer ce cas,j'allais en core supooser le nombre n est divisble par et je montre que la somme de ses chiffres est divisible par 9)
si vous avez une solution simple et plus nette, elle est la bienvenue.
merci d'avance
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[invitebe0cd90e]

soit N=a_k...a1, cad que N=sum(i=0 a k, a_i*10^k).

on voit que le reste de 10 dans la division par 3 vaut 1. donc N=sum(i=0 a k, a_i*1^k) mod 3, donc N est divisible par 3 ssi la somme de ses chiffres l'est. N est divisble par 9 s'il est 2 fois divisble par 3, d'ou le resultat.