Une question d'arithmétique...

[invitedef78796]

Bonjour à tous,

Je suis actuellement confronté à un problème que j'ai déjà fait mais dont je ne retrouve plus la solution . En voici l'énoncé :

Soit p un nombre premier plus grand que 3, q un nombre premier qui divise (2^p)-1. Il s'agit de montrer que 2p divise q.

J'ai déjà montré que comme q divise (2^p)-1, il n'est pas pair. Ainsi q-1 et pair et divisible par 2.

Il reste donc à prouver que p divise q-1 (cf théorème de Gauss) mais je n'arrive pas à utiliser le petit théorème de Fermat pour m'en sortir (en fait je ne sais même plus s'il faut l'utiliser à un moment ou un autre...). Donc si vous avez une idée cela m'aiderait beaucoup.

Merci d'avance,
-----

[invitead065b7f]

Salut,

je crois que tu as mal posé la question (c'est plutôt 2p|q-1).
Et je crois aussi qur tu as proposé la réponse dans ta question.
Peux tu citer le petit théorème de Fermat ? Je pense que cela va t'aider


Amicalement,
Moma

[invitedef78796]

Salut,

je crois que tu as mal posé la question (c'est plutôt 2p|q-1).
Et je crois aussi qur tu as proposé la réponse dans ta question.
Peux tu citer le petit théorème de Fermat ? Je pense que cela va t'aider


Amicalement,
Moma

Oui petite erreur d'énoncé... Il s'agit bien de prouver que 2p divise q-1.


Pour le petit théorème de Fermat :

si n est un nombre premier et a un entier naturel premier avec n alors a^(n-1)-1 est divisible par n

ou version équivalente

si n est un nombre premier et a un entier naturel alors,
a^n = a modulo n

Ici j'ai essayé de l'appliquer avec q, avec p mais cela n'a rien donné...

2^p-2 = 2 mod p

2^(q-1) = 1 mod q

et par hypothèse 2^p = 1 mod q

Mais je ne vois pas comment traduire le fait que p divise q-1...

[invitedef78796]

A mon avis la solution tient en trois lignes, ce qui m'agace d'autant plus, mais le tout en arithmétique c'est de savoir garder son calme...

Bref, je n'arrive pas à conclure à la divisibilité de q-1 par p avec le seul petit théorème de Fermat, peut-être faut-il passer dans Z/qZ ? Mais je ne vois pas trop comment...

Merci encore

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitead065b7f]

si n est un nombre premier et a un entier naturel alors,
a^n = a modulo n

[...]

2^p-2 = 2 mod p

n'y a-t-il pas une erreur d'applicatoin du théorème ?
J'aurais dit : comme p est permier mod p.

Il n'y a plus qu'à conclure

Amicalement,
Moma

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Si tu considères a l'ordre de 2 modulo q, tu vois que a divise q d'après le théorème de Fermat, et tu sais aussi que a | p. Donc ...

__
rvz

[invitedef78796]

Yes, c'est bon je viens de comprendre.

Je le redonne en entier (sans les ereurs d'énnoncé cette fois) :

Soit p un nombre premier plus grand que 3, q un nombre premier qui divise (2^p)-1. Il s'agit de montrer que 2p divise q-1.

Comme q divise (2^p)-1, il n'est pas pair. Ainsi q-1 et pair et divisible par 2.

Soit a l'ordre de 2 dans Z/qZ,
par le petit théorème de Fermat 2^(q-1) = 1 mod q ; on en déduit a divise q-1 (propriétés usuelles des ordres dans un groupe).
Par hypothèse, 2^p = 1 mod q ce qui prouve de même que a divise p donc que a=1 ou a=p car p est premier. a=1 est impossible car sinon 2 = 1 mod q ie q divise 1 absurde.

Donc a = p et p divise bien q-1. Comme 2 divise déjà q-1 et que p et 2 sont premiers entre eux (p supérieur à 3), le théorème de Gauss assure que 2p divise q-1.

Voilà je crois que c'est bon pour cette fois,
Merci

[invite6b1e2c2e]

Oui, ça marche