Morita équivalence

[invited37a86e7]

ça veut dire quoi des algèbres équivalentes au sens de Morita ?

merci.
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[invite4793db90]

Salut,

je pense que tu as déjà dû visité cette page.

Pour le reste, je crois qu'il faut appeler fderwelt très fort...

Cordialement.

[invite6de5f0ac]

Pour le reste, je crois qu'il faut appeler fderwelt très fort...

Bonjour,

C'est très gentil de penser à moi, mais ça l'est moins (pour les autres) de me provoquer à expliquer des trucs que je ne maîtrise pas vraiment moi-même...
Je pourrais essayer de trouver des exemples concrets parlants, mais je n'ai pas ça sous le coude. Et comme dit le Wiki, il y a assez peu de différence entre "isomorphe" et "Morita-équivalent". Je regarde si je n'ai pas un exemple lisible dans mes papiers.

-- françois

[invite4793db90]

Salut,

C'est très gentil de penser à moi, mais ça l'est moins (pour les autres) de me provoquer à expliquer des trucs que je ne maîtrise pas vraiment moi-même...

Désolé, j'ai cru comprendre que ça concernait les catégories abéliennes, et comme tu as "quelques" connaissances dans ce domaine...

Au demeurant, je persiste à penser que ce topic est pour toi.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6de5f0ac]

Salut, Désolé, j'ai cru comprendre que ça concernait les catégories abéliennes, et comme tu as "quelques" connaissances dans ce domaine...
Au demeurant, je persiste à penser que ce topic est pour toi.

Ce qui est sûr, c'est que le sujet m'intéresse bigrement. Mais ça commence à toucher à mon seuil de saturation en "abstract nonsense". Je vais quand même essayer d'aider dans la mesure du possible, de toutes façons ça ne pourra que m'aider à y voir clair... Il n'y a rien de plus efficace que d'expliquer aux autres ce qu'on a cru comprendre soi-même.

Cordialement,

-- françois

P.S. - Pour tout dire, le fait qu'il faille avoir recours à la K-théorie pour distinguer isomorphisme pur et simple et Morita-équivalence ne me rassure pas trop...

[invited37a86e7]

J'avais pas vu le wikipedia anglais. Mais bon ceci-dit j'y comprends rien

[invite6de5f0ac]

Bonsoir,

Bon les gars... J'ai regardé de plus près, et là c'est clair que je commence à être dépassé.
La définition du Wiki est effectivement parfaitement hermétique. Considérer des modules à droite ou à gauche, ce n'est pas bien grave, c'est pour avoir des foncteurs "covariants dans le bon sens". Mais définir une "équivalence" par une transformation naturelle (!) entre deux foncteurs qui, eux-mêmes, admettent des représentations naturelles manifestement pas triviales (et fort différentes), ça me troue le...
En fait, je suis absolument convaincu que cela a à voir avec les catégories de foncteurs (c-à-d les Fct(C₁,C₂) qui ne sont pas nécessairement abéliennes), et donc les 2-catégories (peut-être pire), d'où les rapports mentionnés par le Wiki avec la K-théorie, c-à-d la théorie des faisceaux et des schémas.
Là, franchement, je craque. Mais j'essaye de vous pondre un résumé dans la journée de demain. J'ai une bonne idée de parallèle avec la géométrie projective, mais je voudrais être sûr de ne pas dire de conneries.
Sur ce, je vâ me pieuter.

Bisous à tous,

-- françois

[invitef4181796]

Pour des C* algébres séparables (i.e qui admettent une suite dense), Morita équivalence est la même chose qu'isomorphisme stable. Ici, stable signifie aprés avoir fait le produit tensoriel avec les opérateurs compacts sur l^2(N). On note souvent cette algébre K. Ainsi, par exemple, C, K, K tens K sont Morita équivalentes. Il y a aussi pour les systémes dynamiques des théorémes dits d'imprimitivité reliant le systéme dynamique lui même à un domaine fondamental et aux stabilisateurs de ce domaine.

Cela se définit aussi avec des bimodules et des foncteurs, comme daans Wikipedia, mais là c'est plus abstrait.

Voyez, si cela vous intéresse, la page de Marc Rieffel, qui a écrit de belles choses sur le sujet, et plus particuliérement le papier ci dessous:

http://math.berkeley.edu/~rieffel/

http://math.berkeley.edu/~rieffel/pa...plications.pdf

[invite6de5f0ac]

Cela se définit aussi avec des bimodules et des foncteurs, comme daans Wikipedia, mais là c'est plus abstrait.

Voyez, si cela vous intéresse, la page de Marc Rieffel, qui a écrit de belles choses sur le sujet, et plus particuliérement le papier ci dessous:

http://math.berkeley.edu/~rieffel/

http://math.berkeley.edu/~rieffel/pa...plications.pdf

Bonjour,

Excellents liens! Un peu techniques, mais au moins qui donnent des exemples concrets. Je crois de toutes façons (après examen même que je me suis couché tard cette nuit) que la Morita-équivalence "abstraite" (celle du Wiki avec les bimodules) n'est qu'une manière de systématiser formellement quelque chose qui n'a guère de signification, voire de sens, que dans le cadre des algèbres d'opérateurs.

Je cherche quand même un exemple non trivial, autre qu'une C*-algèbre, mais je ne suis pas sûr d'y arriver... ça ne coûte rien d'essayer, même si c'est juste pour ma culture perso.

-- françois

[invitef4181796]

J'aurais du indiquer aussi le livre d'Alain Connes, sur la Géométrie Non Commutative, qui est passionnant, et trés riche d'informations . (chapitre 2, appendice A, la Morita équivalence est expliquée pour les C* modules)

voir le lien "à un PDF du livre Noncommutative Geometry." sur le site :

http://www.alainconnes.org/

(Attention, c'est un gros fichier)

[invited37a86e7]

Merci pour les liens ... mais bon faut être une brute en algèbre d'opérateurs

[invitef4181796]

C'est une notion technique et pas facile à expliquer. On peut s'en faire une idée en disant qu'une algébre est Morita équivalente aux matrices sur cette même algébre, ou sur une algébre isomorphe. Les matrices 2x2 ne sont pas isomorphes aux matrices 4x4, mais leur sont Morita équivalentes. Les matrices infinies sont isomorphes aux matrices 2x2 sur les matrices infinies. (car 2xaleph 0=aleph 0). Les ennuis techniques arrivent quand on se demande ce qu'est au juste une matrice infinie. Pour pouvoir multiplier deux telles matrices, il faut une condition de décroissance sur les entrées de la matrice, pour que les séries apparaissant dans le produit convergent. Les applications aux systémes dynamiques, comme dans les papiers de Rieffel sont trés techniques.
Est ce que je peux te demander dans quelle situation tu as rencontré cette notion de Morita équivalence?

[invited37a86e7]

Est ce que je peux te demander dans quelle situation tu as rencontré cette notion de Morita équivalence?

En fait, j'ai un extrait en français d'un bouquin de Connes (enfin je pense vu les similitudes avec le pdf en anglais issue de son site) qui parle de la nature "quantique" des pavages de penrose. Il explique comment l'étude classique de ces espaces échoue. Il explique alors le remplacement de la C*Algèbre de fonctions continues sur l'espace en question par une C* Algèbre non-commutative. Il dit qu'on ne change aucune des propriétés "importantes" d'une Algèbre A en la remplaçant par Mn(A) ou toute autre Algèbre équivalente au sens de Morita (c'est ce que tu dis dans ton post précédent en utilisant "isomorphe").
En fait, sur le coup, j'ai juste cherché sur mathworld.wolfram.com qui ne donne rien et le wiki anglais est pas super clair.
Je vais rester sur cette notion d'isomorphe. De toute façon je ne pense pas avoir le niveau pour comprendre plus en détails la façon de mettre en oeuvre les outils non-commutatifs (je suis largué là ). J'ai au moins compris le problème