Bonjour à tous,
J'ai besoin de votre aide ca fait maintenant quelques temps que je planche sur le sujet sans résultats, je dois résoudre cette equation différerentielle :
Y"(x) + (a+b*x^2) * Y(x) = c * x^2 + d * x + e
Où Y est la fonction et x sa variable. a, b, c, d et e sont des constantes.
Auriez-vous des idées car la je bloque.
Merci d'avance,
A&B
Bonjour,
En général, il faut commencer par homogéiniser , cad se débarrasser du membre de droite par un changement de variable. Mais je ne trouve pas ...
Sinon, avez vous repéré des solutions particulières ?
Bonjour,
Les solutions de l'équationn homogène associée s'expriment avec des fonctions spéciales : confluentes hypergéométriques.
Encore faut il ensuite trouver une solution particulière pour l'équation complète. C'est probablement ardu en partant de ces fonctions hypergéométriques. L'étude demanderait un travail non négligable. Le jeu en vaut-il la chandelle ?
D'où vient cette équation et est-il vraiment indispensable d'expliciter complètement les solutions analytiques pour répondre au problème ?
Bonsoir,
j'avais croisé ce document de mathématiciens kosovars :
http://91.187.98.171/ilirias/jiasf/r...JIASF3-4-4.pdf
si le lien ne fonctionne plus, demandez le moi par MP , j'en ai gardé une copie
Vous y trouverez une démonstration formelle assez convaincante d'une solution générale , même sans connaitre 2 ou 3 solutions préalables ( équation 3 ).
Il y a aussi la méthode par les dév limités en construisant des équations aux coefficients du dev.
C'est fou, mais ça a l'air de fonctionner ... mais comment font ils à la main ? faut des heures pour vérifier
Bonjour,
j'ai essayé d'implémenter le document de Ilirias mais la démonstration est complexe et le résultat difficile à exploiter. L'opérateur B est une vraie prise de tête. Donc mon message précédent n'est pas très pertinent.
En fait, le sujet est bien identifié en mécanique hyperbolique après quelques changements de variables : "Weber differential equation"
Les polynomes coefficients ont l'air d'avoir été judicieusement choisis si c'est un exercice.
Parabolic cylinder function
http://www.encyclopediaofmath.org/in...Weber_equation
http://en.wikipedia.org/wiki/Parabol...inder_function
Suivez le lien pour Kummer function dans le wiki
bon courage
Je ne suis pas un grand spécialiste mais ça me le membre de gauche rappelle l'équation de l'oscillateur harmonique quantique.
Pour ce problème les solutions sont les polynômes d'Hermite.
Bonjour,
êtes vous sûr ? l'équation dont ils sont solutions est franchement différente.
en testant avec des valeurs particulières pour les constantes, les solutions ne sont pas des polynomes
Bonjour,
on sait que l'équation Y"(x) + (a+b*x^2) * Y(x) = c * x^2 + d * x + e peut être résolue de façon formelle en faisant appel à des fonctions spéciales connues : soit les fonctions du cylindre parabolique, soit les fonctions de Whittaker, soit les fonctions hypergéométriques confluentes (ou fonctions de Kummer et Tricomi), puisque les relations entre ces fonctions sont connues. Dans des cas particuliers, ces fonctions peuvent se réduire à des combinaisons de fonctions de plus bas niveau (polynômes d'Hermite, etc.)
Dans le cas général, le résultat final sera compliqué car le nécessaire calcul d'une solution particulière passe par l'intégration de termes incluant les fonctions du genre hypergéométrique précédemment citées.
Théoriquement, il est donc possible d'exprimer le résultat analytique sous la forme d'une formule probablement volumineuse, comportant ces fonctions spéciales et des intégrales de termes contenant ces fonctions.
Mais quel intérêt à tout cela ? Que fera-t-on de ce résultat très difficile à utiliser?
D'autant plus que "arthuretbalthazar" n'a pas répondu aux questions d'information qui lui étaient posées au sujet de son problème et ne donne même pas signe de vie.
Il est plus que probable que la réponse pratique à ce problème soit apportée par du calcul numérique, en partant directement de l'équation de départ plutôt que d'une formule très compliquée (qui de toute façon nécessiterait du calcul numérique pour les fonctions spéciales qu'elle contient)
