équation différentielle non linéaire

[invite982f5109]

salut à tous en traitant un probléme physique je suis tombé sur cette équation différentiel pas trés jolie et je vois pas comment la résoudre si quelqu'un a une idée : f '(x).(a.x^2-b.x.f(x))+b.f(x)^2=0 ou a et b positifs merci
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[invite982f5109]

si vous pensez qu'elle est insolvable analytiquement dite le moi

[invite01b1e3fe]

En générale les équation diff. non linéaire est difficile a résoudre,cette équation est homogène il faut poser f '(x)=g(y/x)
diviser l'equation diff. sur x^2
la solution c'est : integrale de 1/(g(y/x)-y/x)

[invite982f5109]

je ne comprend pas d'ou viens ton y

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite01b1e3fe]

y=f

g(f/x)=g(u)=-bu^2/(a-bu)

[invite982f5109]

excuse moi mais tu peut etre un peu plus précis je comprend pas

[invite01b1e3fe]

[invite01b1e3fe]

Equation homogène :

y'(ax²-bxy)+by²=0

y'=by²/(ax²-bxy)

on divise par x²

y'=by²/x²/(a-by/x)

Il s'agit des équation de la forme y'=f(y/x)
pour la résolution de cette équation, on pose u=y/x donne y=ux
on dérive cette relation par rapport à x
y'=u'x+u or y'=f(u)
en égalisant les 2 expressions ,on obtient
xu'+u=f(u)
c'est une équation à variables séparés xu'=f(u)-u
du/(f(u)-u)=dx/x (*)

on suppose que f déférent de identité
on intègre (*) il vient


si la fonction 1/(f(u)-u) admet une primitive G(u) alors
ln|x|=G(u)+c
donc x=kexp(G(u))

en fin :
la solution de l'equation homogène s'ecrit dous la forme parametrique :



ou u est un parametre ,k constante arbitraire.

[invite982f5109]

merci ta assuré j'aurai jamais trouvé comment ta fait ?