[Géométrie complexe] - Similitudes planes

[invite2c46a2cb]

Bonjour à tous !

Dans un de mes cours sur les complexes, il est marqué la chose suivante :
Toute similitude plane directe est soit une translation, soit la composée d'une homothétie de rapport strictement positif et d'une rotation de même centre.

J'ai quelques questions à ce sujet :
- Pourquoi l'homothétie doit être d'un rapport strictement positif ? Pourquoi le rapport ne peut pas être négatif, ou simplement nul ?
- Pourquoi une similitude ne peut être la composée d'une translation et d'une homothétie, ou d'une translation et d'une rotation, puisque la composée de deux similitudes est une similitude, et qu'il se trouve que justement, une translation est une similitude ?

Merci d'avance !
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[inviteb34062f7]

Si on fait une homothétie de rapport négatif, on change de signe de l'angle =p Haha !

[Seirios]

Bonsoir,

- Pourquoi l'homothétie doit être d'un rapport strictement positif ? Pourquoi le rapport ne peut pas être négatif, ou simplement nul ?

Si le rapport est nul, l'homothétie n'est plus une similitude, elle envoie tous les points sur son centre ; si le rapport est négatif, la similitude n'est plus directe (de ce que je me souvient, une similitude est dite directe si elle préserve l'orientation).

- Pourquoi une similitude ne peut être la composée d'une translation et d'une homothétie, ou d'une translation et d'une rotation, puisque la composée de deux similitudes est une similitude, et qu'il se trouve que justement, une translation est une similitude ?

C'est tout à fait possible, je pense que la translation est cachée dans l'homothétie.

[Seirios]

En fait, toute similitude directe s'écrit sous la forme , et la composition d'une homothétie de centre et de rapport avec une rotation de centre et d'angle s'écrit sous la forme (après quelques lignes de calcul) .

Donc , et (ici l'interprétation géométrique est moins claire...).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2c46a2cb]

Merci à vous deux pour votre intervention, et particulièrement à Seirios pour sa réponse très complète !
J'y vois plus clair maintenant !

C'est tout à fait possible, je pense que la translation est cachée dans l'homothétie.

Vous voulez dire que la translation est un cas particulier de l'homothétie ?

[Elie520]

Vous voulez dire que la translation est un cas particulier de l'homothétie ?

Je ne pense pas qu'il veuille dire cela puisque c'est faux : une translation (non nulle) n'admet pas de point fixe.

Par contre, avec un peu d'imagination, vous pouvez voir une translation comme une rotation dont le centre est "à l'infini".
Une petite explication pour montrer qu je ne suis pas fou :

Si avec , admet comme point fixe. Donc quand se rapproche de , "se rapproche" d'une translation et "se rapproche" de l'infini. De plus (calcul de Seirios), l'homothétie que compose s "rapproche" de l'identité.

[Seirios]

Vous voulez dire que la translation est un cas particulier de l'homothétie ?

Ce que je veux dire, c'est qu'il est possible d'écrire la composition d'une translation avec une rotation comme la composition d'une homothétie avec une rotation (les deux rotations de la phrase étant différenentes, à moins que la translation et l'homothétie soient triviales) ; la translation est donc "cachée" (c'est vrai qu'il était maladroit de dire qu'elle était cachée dans la translation, elle l'est plutôt dans la composition).

[invite2c46a2cb]

D'accord je vois, merci.. En tout cas je trouve ça nettement plus compliqué que de mettre "Toute similitude plane directe est soit une translation, soit une homothétie de rapport strictement positif, soit une rotation, soit la composée de plusieurs de ces transformations."

D'ailleurs, si toute similitude plane est de la forme , alors c'est la composée d'une homothétie de rapport et dont le centre est l'origine de plan et d'une translation par le vecteur d'affixe ?

[Elie520]

Non attention, car a est potentiellement complexe.
Une homothétie dilate seulement.
Tandis que la partie complexe de a a pour effet d'effectuer
Une rotation.
Du coup, facilement, s est la composée d'une homothétie, d'une rotation et d'une translation.
Mais la ou le théorème est intéressant, c'est qu'il permet de s'affranchir des translations ! (sauf dans le cas ou s en est une justement.