nature d'une série

[Isis-mirka]

Bonsoir,
je cherche la nature d'une série et je ne sais pas comment commencer ma démonstration
La voici:
sigma(sin((0.5)^n))
Quelqu'un aurait-il une piste ?

Je vous remercie d'avance
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[Tryss]

On peut, comme le sinus est toujours positif quelque soit n, utiliser un équivalent simple de sin

[Isis-mirka]

je connais bien sin(x) équivalent à x en 0 mais n tend vers + infini....

[topmath]

Bonsoir si on considère que ça vous rappelle rien ?

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[Isis-mirka]

non, cela ne me dit rien ...
j'ai une question : comment trouver cette formule ?
De plus, j'ai sin((0.5)^n ) et non (sin(0.5))^n donc comment puis-je retomber sur mon expression de départ ?

Merci beaucoup

[topmath]

Bonsoir une petite erreur de ma part lors de la saisie , je propose ceux ci ;

Cordialement

[Isis-mirka]

Désolé, je ne parvient pas à arriver à votre résultat. Voila où j'en suis:
on sait qu'en 0, sin(x) est équivalent à x, ou encore limite de sin(x)/x=1 pour x qui tend vers 0 par valeurs supérieure je crois
or, on considère ici un x proche de 0, donc on pourrait remplacer x par (0,5)^n car pour n grand, (0.5)^n est tres petit
on aurait alors, sin( (0.5)^n ) / (0.5^n)=1, et donc sin( (0.5)^n ) = (0.5^n).

Comment trouver ce signe "<" ?

merci d'avance

[Tryss]

je connais bien sin(x) équivalent à x en 0 mais n tend vers + infini....

Mais quel est l'expression de x ici? Quand n tend vers l'infini, vers quoi tend (1/2)^n ?

[Isis-mirka]

vers 0...vous avez raison.
Néanmoins , je n'arrive pas à trouver l'expression de topmath dans son message 6...avec l'inégalité...

[topmath]

Bonsoir vous venez de le confirmez pour n très grand on considère que et , comme converge car c'est une série géométrique de raison q=(1/2)<1 alors on appliquant le critère de comparaison si converge alors converge aussi et par la suite cette série est géométrique .

pour ce qui est du signe <> je pense c'est dans votre clavier , bref si vous utiliser le latex ici symboles mathématiques .

Cordialement

[Isis-mirka]

mais je croyais que le critere de comparaion ne s'appliquer que si Un était inférieure ou égale à Vn , je ne l'avais jamais utilisé pour les équivalents
Merci pour l'info !
L'exercie est donc terminé grace au message 10 !
Merci beaucoup
Bonne soirée !

[Isis-mirka]

Excusez-moi de vous déranger masi j'ai une question pour un autre exo:

j'ai la série sigma(n/(n²+1))

je dois montrer qu'elle est convergente ou divergente.
C'est déjà une série à termes positifs
je pensais utiliser la propriété qui dit q'une série à termes positifs converge si elle est majorée.
seulement, la propriété dit qu'il faut que la suite de sommes partielles soit majorée.
J'ai montré que n/(n²+1) est majorée par 1 mais c’est le terme général (notons le Un)
du coup , comment je peux rédiger correctement ma convergence de la série ?

Merci

[topmath]

Bonsoir Isis-mirka je voudrai seulement faire une remarque concernant l’exercice précédant pour ce qui est de la nature de la série cité en premier poste vous utiliser le le Critère de convergence deusuelle lemme 3.1 page 9 car j'ai sentie que vous étiez pas totalement convaincu mais pour ce qui concerne la convergence de la série , le critère de comparaison suffit, reste maintenant si on peut considérai v_n comme équivalent pour l'application du critère de comparaison là précisément je suis pas totalement sur .

Cordialement

[Elie520]

Pour les deux exercices, voici le théorème qui doit être dans vos cours :

Soient Un et Vn deux suites positives(à partir d'un certain rang).
Supposons que Un et Vn sont équivalentes quand n tend vers l'infini.

ALORS la série des Un converge SI ET SEULEMENT SI la série des Vn converge.

Maintenant, avec ça, pour les deux exercices de ce topic, la méthode est la même (et c'est une méthode très courante à retenir) :

1- Trouver un équivalent simple de la suite à sommer.
2- Regarder la convergence/divergence pour cet équivalent simple.
3- Conclure par le théorème.

Cordialement.
Elie520.

[topmath]

Bonsoir Elie520

Pour les deux exercices, voici le théorème qui doit être dans vos cours :
1- Trouver un équivalent simple de la suite à sommer.
2- Regarder la convergence/divergence pour cet équivalent simple.
3- Conclure par le théorème.
Elie520.

Petite question Elie520 , donc si je comprend bien en peut considérer v_n comme équivalent puits , impliquer cette équivalent dans le critères de comparaison merci d’avance ?

Cordialement

[Isis-mirka]

Donc si je suis votre raisonnement, j'ai:
C équivalent à 1/n et 1/n étant divergent , alors n/(n^2+1) est divergent.
ou encore:
ona Un= n
Vn=n^2+1
alors Un/Vn=n/(n^2+1) et 0<=n/(n^2+1)<=1,
donc; Un et Vn étant de meme nature, avec lim Un =+ infini quand n tend vers + infini, on a n/(n^2+1) divergent ?

Pouvez-vous me le confirmez svp ?

[Isis-mirka]

excusez les erreurs de frappe , voici le message: Donc si je suis votre raisonnement, j'ai:
n/(n^2+1) équivalent à 1/n et 1/n étant divergent , alors n/(n^2+1) est divergent.

ou encore:
on a Un= n
Vn=n^2+1
alors Un/Vn=n/(n^2+1) et 0<=n/(n^2+1)<=1,
donc; Un et Vn sont de meme nature,
et avec lim Un =+ infini quand n tend vers + infini,
on a n/(n^2+1) divergent ?

[Elie520]

Alors isis-mirka, calmons-nous, vous avez fait deux raisonnements qui n'ont rien a voir, pour le meme eercice, et l'un d'eux est completement faux.

Réécrivez votre message en suivant bien point par point la méthode détaillée, et vous verrez ce qui cloche ou non, je vous confirmerai votre résultat.

et topmath : Oui. C'est ce quevous aviez déja fait plus tot dans ce post.

Et attention de manière générale : "Un est convergent" ca veut dire que la SUITE Un converge. Attention aux mots. Je pense notamment a isi-mirka : "hors 1/n diverge" : Non, 1/n tend vers zéro quand n tend vers l'infini. C'est la SERIE des 1/n qui diverge. Il faut faire attention avec ce vocabulaire.

[topmath]

Bonjour à tous maintenant tout est clair car j'avais des doutes sur cette question ; Merci infiniment Elie520 et bonne journée .

Cordialement ;

[Isis-mirka]

reprenons:
la série à étudier est n/(n^2+1)
Posons Un=n/(n^2+1)
Or, quand n tend vers + infini, on peut trouver une suite Vn équivalente à Un de la forme Vn=1/n (on a le même comportement en + infini).
Or, sigma(Vn) est la série harmonique, elle est donc divergente.

Ainsi, la série sigma(Un) diverge d'apres le theoreme du message 14.

Cela serait-il correct ?

[Elie520]

C'est tout juste et tu as bien fait de rajouter le "sigma"(Vn) est divergent ^^.

[Isis-mirka]

Merci pour la confirmation.

En fait, cette série sigma(n/(n^2+1)) est seulement une partie d'une autre série. J'ai en effet séparé les deux parties d'une série pour transformer ma série initiale en une somme de deux séries exploitables. Or , l'autre partie de cette série converge.
Donc puis-je dire que la somme d'une série convergente et d'une série divergente donne une série divergente ou si on ne peut pas conclure ?

Merci d'avance

[Elie520]

Eh bien qu'en penses-tu ?
Comment peux-tu argumenter ?
Tu dois pouvoir trouver seul.
(il faut revenir à la définition d'une série convergente).

[Isis-mirka]

et bien j'aurais dit que la série convergente admet une somme L finie , donc avec une série divergente, la série constituée de la somme des deux séries reste divergente mais ce n'est qu'une supposition ....car je n'ai rien trouvé dans mon cours concernant ce cas ...

[ansset]

edit : reponse à un autre sujet ( autre fenètre ! )

[Isis-mirka]

Désolé , j'ouvrirai une nouvelle discussion la prochaine fois, mais mes questions traitent du même exercice et par conséquent du même sujet ...

[ansset]

pourquoi.
Elie demandait juste de préciser .
ici
la somme est croissante.
la somme est majorée par une autre somme qui converge.

[topmath]

Bonsoir @Isis-mirka:

et bien j'aurais dit que la série convergente admet une somme L finie , donc avec une série divergente, la série constituée de la somme des deux séries reste divergente mais ce n'est qu'une supposition ....car je n'ai rien trouvé dans mon cours concernant ce cas ...

à mon avis si en suis ce lien exemples de séries qui divergent grossièrement propriété 3 dans ce cas précis en peut rien conclure .

Cordialement ;

[Isis-mirka]

D'accord , merci pour tous vos renseignements
Bonne journée.