Nature d'une série

[invite819ed59e]

Bonjour,

J'ai quelques problèmes pour montrer que la série de terme général

Un=(somme de n à l'infini des 1/k^2)*exp(-Hn)), avec Hn la série harmonique ( la somme partielle des 1/k) , est convergente.

Je cherche un équivalent de Un donc je commence par le terme de gauche.

Est-il possible ici de dire directement que exp(-Hn) est équivalent à exp(-ln(n)) car Hn est équivalente à ln(n) je crois me souvenir qu'une limite nulle est nécessaire pour pouvoir composer les équivalent.

Dans tous les cas Hn=ln(n) + gamma + o(1) à l'infini donc on obtient

exp(-Hn)=1/(n*exp(gamma)) à l'infini

La série des 1/n^2 étant convergente son reste tend vers 0 donc on peut la majorer par un epsilon

Avec ce procédé j'obtient une série divergente ... (ceci étant dit on me demande sa nature mais cela m'étonnerait qu'il faille montrer qu'elle diverge)

Quelqu'un verrait-il comment trouver un équivalent de ce reste ?
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[invite819ed59e]

Bouarf, simplement un petit o de 1/n^2 mais j'aimerais quand même savoir si on peut procéder comme cela

[invite20890e0d]

salut
tout d'abord pour les équivalents tu as raison u_nv_n n'implique pas e^u_ne[EXP]v_n[\EXP] un contre exemple n et n+1 par exemple
ensuite tu ne peux pas conclure ainsi que la série va diverger tu as simplement une majoration trop grossière encadre le reste de la somme des 1/k² par des intégrales tu vas en trouver un équivalent et tu pourras conclure.

[invite029139fa]

Si tu cherches juste la nature, tu as dis toi même que la Somme des carrés des inverses convergeait donc comme et que c'est tout le temps des termes positifs, tu as le résultat.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite819ed59e]

Comparaison série intégrale ! Parfait merci