Bonsoir, voila je n'arrive pas du tout à commencer cette exercice donc je fais appel à vous pour quelques pistes:
Voila je dois déterminer la nature de la série numérique Un ou Un est l'intégrale de 0 à 1 de dx/(1+x+x²+...+x^n) à part remarquer que l'on peut utiliser la formule d'une somme d'une suite géométrique de premier terme U0=1 et de raison x je ne vois quoi dire d'autres. Merci encore
tu es sur de ton exercice car tu parle de série puis après d'intégrale
de plus ton intégrale est forcément convergente puisqu'il n'y a aucun problème de définition
ton intégrale est majorée par 1 donc elle converge
la fonction que tu intègre est décroissante, et vaut 1/n en 1.
Une petite idée pour en déduire la nature de la série ?
On peut aussi utiliser la formule de la moyenne pour minorer Un et déduire la nature de la série...
bonjour,Envoyé par jules345
Bonsoir, voila je n'arrive pas du tout à commencer cette exercice donc je fais appel à vous pour quelques pistes:
Voila je dois déterminer la nature de la série numérique Un ou Un est l'intégrale de 0 à 1 de dx/(1+x+x²+...+x^n) à part remarquer que l'on peut utiliser la formule d'une somme d'une suite géométrique de premier terme U0=1 et de raison x je ne vois quoi dire d'autres. Merci encore
tu peux multiplier haut et bas par (1-x), ensuite l'integrale devient plus sympa.
Comme la suite de terme généralest de limite
On a, pour
donc :
La série est divergente, puisque minorée par une série positive divergente (série harmonique).
Il ne me paraît pas immédiat que le terme général de la suite tende vers une limite non nulle.
A moins qu'on puisse dire, brutalement, que :
pourquoi "brutalement" ?A moins qu'on puisse dire, brutalement, que :
Plus brutalement :
d'où :
Il y a convergence simple et monotone (décroissante, donc aussi convergence dominée par la constante 1) de
Brutalement, c'est-à-dire sans vérifier s'il est légitime ou non de permuter limite et intégrale.
je ne vois pas ou tu vois une permutation.
il y a d'abord un calcul d'intégrale, puis le calcul de sa limite.!
Et que vaut l'intégrale ?
La permutation est pourtant claire :
Il faut justifier sa validité, que j'ignore en l'occurence, mais que je suspecte pour des raisons de régularité et de non-exoticité des fonctions.
Que je subodore serait le verbe plus approprié que je suspecte.
Je répète qu'il y a convergence monotone, et convergence dominée ; à la hussarde :
donc :
