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Nature d'une série



  1. #1
    jules345

    Nature d'une série


    ------

    Bonsoir, voila je n'arrive pas du tout à commencer cette exercice donc je fais appel à vous pour quelques pistes:
    Voila je dois déterminer la nature de la série numérique Un ou Un est l'intégrale de 0 à 1 de dx/(1+x+x²+...+x^n) à part remarquer que l'on peut utiliser la formule d'une somme d'une suite géométrique de premier terme U0=1 et de raison x je ne vois quoi dire d'autres. Merci encore

    -----

  2. #2
    369

    Re : Nature d'une série

    tu es sur de ton exercice car tu parle de série puis après d'intégrale
    de plus ton intégrale est forcément convergente puisqu'il n'y a aucun problème de définition

  3. #3
    369

    Re : Nature d'une série

    ton intégrale est majorée par 1 donc elle converge

  4. #4
    thepasboss

    Re : Nature d'une série

    la fonction que tu intègre est décroissante, et vaut 1/n en 1.

    Une petite idée pour en déduire la nature de la série ?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    ericcc

    Re : Nature d'une série

    On peut aussi utiliser la formule de la moyenne pour minorer Un et déduire la nature de la série...

  7. #6
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Nature d'une série

    Citation Envoyé par jules345 Voir le message
    Bonsoir, voila je n'arrive pas du tout à commencer cette exercice donc je fais appel à vous pour quelques pistes:
    Voila je dois déterminer la nature de la série numérique Un ou Un est l'intégrale de 0 à 1 de dx/(1+x+x²+...+x^n) à part remarquer que l'on peut utiliser la formule d'une somme d'une suite géométrique de premier terme U0=1 et de raison x je ne vois quoi dire d'autres. Merci encore
    bonjour,
    tu peux multiplier haut et bas par (1-x), ensuite l'integrale devient plus sympa.

  8. #7
    God's Breath

    Re : Nature d'une série

    Comme la suite de terme général est de limite non nulle, il est curieux que la question ne porte pas sur la nature de la série de terme général .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  9. #8
    breukin

    Re : Nature d'une série

    On a, pour :

    donc :

    La série est divergente, puisque minorée par une série positive divergente (série harmonique).
    Il ne me paraît pas immédiat que le terme général de la suite tende vers une limite non nulle.

  10. #9
    breukin

    Re : Nature d'une série

    A moins qu'on puisse dire, brutalement, que :

  11. #10
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Nature d'une série

    Citation Envoyé par breukin Voir le message
    A moins qu'on puisse dire, brutalement, que :
    pourquoi "brutalement" ?

  12. #11
    God's Breath

    Re : Nature d'une série

    Plus brutalement : donc, pour tout nombre réel de l'intervalle :



    d'où :

    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  13. #12
    God's Breath

    Re : Nature d'une série

    Citation Envoyé par breukin Voir le message
    brutalement]
    Il y a convergence simple et monotone (décroissante, donc aussi convergence dominée par la constante 1) de vers .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  14. #13
    breukin

    Re : Nature d'une série

    Brutalement, c'est-à-dire sans vérifier s'il est légitime ou non de permuter limite et intégrale.

  15. #14
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Nature d'une série

    je ne vois pas ou tu vois une permutation.
    il y a d'abord un calcul d'intégrale, puis le calcul de sa limite.!

  16. #15
    ericcc

    Re : Nature d'une série

    Et que vaut l'intégrale ?

  17. #16
    breukin

    Re : Nature d'une série

    La permutation est pourtant claire :



    Il faut justifier sa validité, que j'ignore en l'occurence, mais que je suspecte pour des raisons de régularité et de non-exoticité des fonctions.

  18. #17
    breukin

    Re : Nature d'une série

    Que je subodore serait le verbe plus approprié que je suspecte.

  19. #18
    God's Breath

    Re : Nature d'une série

    Citation Envoyé par breukin Voir le message
    La permutation est pourtant claire :
    Il faut justifier sa validité.
    Je répète qu'il y a convergence monotone, et convergence dominée ; à la hussarde :



    donc :

    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

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