Problème maths certificat d'étude de 1908

[invitecbfad8cf]

Alors voici un probleme donné en 1904 aux éleves qui passait leur certificat d'étude ils avaient 45 minutes pour repondre a ce sujet !
seriez vous aussi capable de le résoudre ??

alors repondez a ce probleme !

On sait que 3 boeufs ont mangé en 2 semaines l'herbe contenue dans 2 ares de terrain plus l'herbe qui a poussé uniformément pendant ces 2 semaines.
On sait que 2 boeufs ont mangés en 4 semaines l'herve contenue dans 2 ares de terrain plus l'herbe qui à crû durant ces 4 semaines.

D'après ces données combien faudra t il de boeufs pour manger en 6 semaines l'herbe contenue dans 6 ares plus l'herbe qui a poussé pendant ces 6 semaines ??

alors ? qu'en pensez vous ??
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[invitefc60305c]

Au hasard, 1 boeuf ? 5 boeufs ?

[invite6b1e2c2e]

Je pense que la réponse est 30 !
En moins de 5 minutes. Je pense aussi qu'il faut arrêter de systèmatiquement dire que les élèves étaient meilleurs avant. Les programmes ont changé, c'est sûr, mais demandez à vos grands parents bacheliers si ils savaient ce qu'étaient les nombres complexes, ou une congruence. Même s'il est vrai qu'ils étaient sans doute bien meilleurs en géométrie !

Je tiens d'ailleurs à dire que les fondements de l'analyse datent environ de 1850. C'est Bolzano et Weierstrass qui les premiers donnèrent une définition rigoureuse de "suite convergente". Il y avait de nombreuses sommités qui confondaient encore convergence simple et convergence uniforme (cf conti voisin) dans les années 1890 ( Poincaré je crois, mais je n'en suis vraiment pas sûr).

Pour ce qui est de l'algèbre, il existe sans doute sur ce site des gens plus qualifiés que moi pour en parler, mais il me semble que les premières définitions sur les structures (type groupe, corps, espace vectoriel, etc...) doivent dater de ces années là aussi.

__
rvz, pour un peu d'histoire des maths

[invite14ea0d5b]

Je pense que la réponse est 30 !
En moins de 5 minutes.

Et je pense que c'est 5, en moins de 30 minutes

[A voir en vidéo sur Futura]

[SPH]

J'en tire 2 equations (mais ma memoire peut etre defaillante) :
2b + 4s = 2
3b + 2s = 2

donc :
2b = 2 - 4s
b= (2 - 4s)/2

donc :
3*((2-4s)/2) + 2s = 2
3*(1-2s) + 2s = 2
3 - 6s + 2s = 2
4s = 1
s = 1/4

donc :
2b + 4s = 2
2b + 4*(1/4) = 2
2b + 1 = 2
2b = 1
b= 1/2

Ce qui veux dire quoi ?
Que 1/2 boeuf est utile pour raser en 1/4 de semaine 2 ahres ??
A vous de voir

[azt]

Ma réponse au problème est du même métal que celle de rvz.

[en appartée pour répondre à rvz]
Je ne suis pas sûr que le formalisme de mise en équations était aussi abouti que celui qui nous permet de résoudre le problème rapidement. (dans les écoles notamment)
[/fin de l'appartée]

[Evil.Saien]

Humhum...

Je dirais 3

[azt]

Non, je viens de tiquer 30 c'est bien trop (un peu fatigué ce soir ).
Ca m'aurait fait un beau zéro pointé...
Hop recalculs, modification de la mise en équation et je tombe sur 5 bêtes.

[invitec7204958]

Bonsoir,

Pour moi c'est 30
* R la ration d'un boeuf en 1 semaine
* a la quantité d'herbe disponible sur un are
* s le taux de croissance de l'herbe en une semaine
Première équation 2a (1+2s)=6R [1]
Deuxième équation 2a (1+4s)=8R [2]

Donc (!) en langage courant : l'herbe qui pousse sur deux ares en deux semaines fournit la consommation d'un boeuf en deux semaines [3] (d'après [2] - [1])
- le stock herbe contenu sur 2 ares fournit la consommation de deux boeufs sur 4 semaines (d'après [1] - [3])
- etc

Je sais, la prise de tête menace, mais il suffit pour voir d'aller voir la démonstration du petit théorème de Fermat en V.O. pour voir l'apport du calcul algébrique : comment comparer la vitesse d'un cavalier d'il y a un siècle et celle d'une motocyclette d'aujourd'hui ?

A +

[GuYem]

Je pense que la réponse est 30 !
En moins de 5 minutes. Je pense aussi qu'il faut arrêter de systèmatiquement dire que les élèves étaient meilleurs avant. Les programmes ont changé, c'est sûr, mais demandez à vos grands parents bacheliers si ils savaient ce qu'étaient les nombres complexes, ou une congruence. Même s'il est vrai qu'ils étaient sans doute bien meilleurs en géométrie !

Je tiens d'ailleurs à dire que les fondements de l'analyse datent environ de 1850. C'est Bolzano et Weierstrass qui les premiers donnèrent une définition rigoureuse de "suite convergente". Il y avait de nombreuses sommités qui confondaient encore convergence simple et convergence uniforme (cf conti voisin) dans les années 1890 ( Poincaré je crois, mais je n'en suis vraiment pas sûr).

Pour ce qui est de l'algèbre, il existe sans doute sur ce site des gens plus qualifiés que moi pour en parler, mais il me semble que les premières définitions sur les structures (type groupe, corps, espace vectoriel, etc...) doivent dater de ces années là aussi.

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rvz, pour un peu d'histoire des maths

[Mode humour ON]
Tu penses qu'il y a 30! boeufs sur terre ? Pas moi !
[Mode humour OFF]

Ton histoire des maths ne me parait pas complètement farfelue. Sur que nos ancètres étaient bien meilleurs en géométrie.
Si je ne m'abuse le certificat d'études c'est un peu notre n niveau troisième maintenant non ? Le problème ne me parait pas si simple pour ce niveau là.

[rna]

Bonjour,

Il faut d'abord calculer la vitesse v de croissance de l'herbe par semaine et par are

3 boeufs en 2 semaines mangent donc 2+2*2*V ares d'herbes donc (2+4*V)/6 pour 1 boeuf en 1 semaine.

2 boeufs en 4 semaines mangent 2+2*4*V ares d'herbe
donc (2+8*V)/8 pour 1 boeuf en 1 semaine.

En égalant on a (2+4*V)/6=(2+8*V)/8
d'où (2+4*V)*8=(2+8*V)*6
d'où (1+2*V)*4=(1+4*V)*3
d'où v=1/4 ares d'herbe poussée par are et par semaine.
et 1 boeuf mange (2+8*V)/8 soit 0,5 ares par semaine.

Donc en 6 semaines et pour 6 ares, les boeufs auront à manger 6+(6x6)/4 ares d'herbe, soit 15 ares.

Il faut donc 15/0,5 boeufs, soit 30 boeufs.

[Jeanpaul]

T'es sûr, là ?
Il y a 15 ares à manger. En 6 semaines, un boeuf consomme 3 ares. Donc, ça fait 5 boeufs, non ?
La vraie question : comment les élèves faisaient-ils sans algèbre ? Parce que c'est sûr : ils pratiquaient la règle de trois, pas l'algèbre.
Dans les années 1960, la SNCF faisait un concours de recrutement à peu près au niveau 3ème et l'algèbre était explicitement interdite.
En plus, je suis sûr qu'en 45 minutes,il y avait d'autres exercices.

[mécano41]

Bonjour !

Vous semblez tous oublier (sauf Jean-Paul) qu'au niveau du Certificat d'Etudes Primaire (qui se passait 1 an après le CM2) tous les problèmes de trains qui se croisent et de robinets qui remplissent des bassins... devaient être résolus par l'arithmétique. Il n'était donc pas question d'inconnues, d'équations... C'étaient les rois de la règle de trois ! Tout était basé sur un raisonnement du genre :

Si 3 boeufs, en 2 semaines, mangent 2 ares + pousse de 2 s, 3 boeufs, en 4 semaines, mangent le double, donc : 4 ares + pousse de 4 s
et comme, d'autre part, selon l'énoncé, 2 boeufs en 4 s mangent 2 ares + pousse de 4 s, l'un des boeufs a mangé en 4 s la différence entre les quantités mangées par 3 boeufs et par 2 boeufs, soit : l'équivalent de 2 a en 4 s. Le second a donc mangé : l'équivalent de la pousse de 4 s
1 boeuf mangera donc en 6 s : l'équivalent de la pousse de 6 s
1 boeuf mangera également en 6 s : l'équivalent de 3 a

Il faut donc :

1 boeuf mangeant la pousse de 6 s en 6 s
2 boeufs mangeant chacun 3 a en 6 s

Il faut donc : 3 boeufs !

Ce n'est pas demandé mais la pousse est équivalente à 0,5 a par semaine et c'est également ce qu'un boeuf mange en une semaine. Cela vérifie les données de l'énoncé.

A bientôt

[yat]

Si 3 boeufs, en 2 semaines, mangent 2 ares + pousse de 2 s, 3 boeufs, en 4 semaines, mangent le double, donc : 4 ares + pousse de 4 s

Donc il y a deux fois plus d'herbe qui pousse sur 4 ares en 4 semaines que sur 2 ares en 2 semaines ?
Le résultat final n'a donc aucune chance d'être juste.

Bon, forcément en mettant en équation c'est facile. L'exercice qui consiste à mettre tout ça sous forme de phrases et de ne plus avoir d'inconnues ets quand même une belle prise de tête. Voyons ce que ça peut donner :

Il faut trois boeufs en deux semaines pour manger l'herbe de deux ares de terrain plus deux fois la pousse hebdomadaire de deux ares de terrain. Il faut donc six boeufs en une semaine pour manger l'herbe de deux ares de terrain plus quatre fois la pousse hebdomadaire d'un are de terrain.

Il faut deux boeufs en quatre semaines pour manger l'herbe de deux ares de terrain plus quatre fois la pousse hebdomadaire de deux ares de terrain. Il faut donc huit boeufs en une semaine pour manger l'herbe de deux ares de terrain plus huit fois la pousse hebdomadaire d'un are de terrain.
Les deux boeufs supplémentaires permettent donc de manger quatre fois la pousse hebdomadaire d'un are de terrain.

Comme il faut six boeufs en une semaine pour manger l'herbe de deux ares de terrain plus quatre fois la pousse hebdomadaire d'un are de terrain, il faut dix-huit boeufs en une semaine pour manger l'herbe de six ares de terrain plus douze fois la pousse hebdomadaire d'un are de terrain.

Comme les six ares de terrain poussent pendant six semaines, ils produiront l'équivalent de trente-six fois la pousse hebdomadaire d'un are de terrain. Aux dix-huit boeufs qui mangeront en une semaine l'herbe de six ares de terrain plus douze fois la pousse hebdomadaire d'un are de terrain, il faut donc ajouter suffisamment de boeufs pour manger en une semaine l'équivalent de vingt-quatre fois la pousse hebdomadaire d'un are de terrain. On sait qu'il faut deux boeufs pour en manger quatre, on aura donc besoin de douze boeufs supplémentaires.

Donc en tout, trente boeufs mangeront en une semaine l'herbe de six ares de terrain plus six fois la pousse hebdomadaire de six ares de terrain.

Du coup, cinq boeufs mangeront en six semaines l'herbe de six ares de terrain plus six fois la pousse hebdomadaire de six ares de terrain.

Merci le copier-coller. C'était vraiment comme ça qu'il fallait rédiger à l'époque ?

Allez, un petit coup en mode easy, pour se reposer :

A la quantité d'herbe sur un are de terrain
B la quantité d'herbe qui pousse en une semaine sur un are de terrain
C la quantité mangée en une semaine par un boeuf

"On sait que 3 boeufs ont mangé en 2 semaines l'herbe contenue dans 2 ares de terrain plus l'herbe qui a poussé uniformément pendant ces 2 semaines.", donc :
3C=2A+4B, soit 3C=A+2B

"On sait que 2 boeufs ont mangés en 4 semaines l'herve contenue dans 2 ares de terrain plus l'herbe qui à crû durant ces 4 semaines." donc :
8C=2A+8B, soit 4C=A+4B

On a donc C=2B, du coup :
3C=A+2B donne 6B=A+2B, soit A=4B.

Donc 6A+36B=60B
Soit 30C=6A+36B, ou 5*6C=6A+6*6B.
Il faut donc cinq boeufs pour manger en 6 semaines l'herbe contenue dans 6 ares plus l'herbe qui a poussé pendant ces 6 semaines.

rassurant de retomber sur le même résultat.

[invite986312212]

[QUOTE=yatIl faut trois boeufs en deux semaines pour manger l'herbe de deux ares de terrain plus deux fois la pousse hebdomadaire de deux ares de terrain.(...)[/QUOTE]

à mon avis c'est plus compliqué parce que l'herbe commence à repousser sitôt que les boeufs l'ont mangée, et donc on a un phénomène du type paradoxe de Zenon: les boeufs mangent une fois le champ, pendant ce temps ça repousse, alors ils le remangent, mais ça a encore repoussé, etc (à moins de supposer que les boeufs mangent le champ instantanément, puis
se roulent les sabots pendant deux semaines, puis mangent la repousse instantanément). Il faudrait introduire la vitesse de pousse et la vitesse (surfacique!) des boeufs. On pourrait aussi raisonner en volume, puisqu'un boeuf mange par unité de temps un volume d'herbe, et non une surface.

bref, je doute qu'on s'en sorte avec la règle de trois...

[yat]

à mon avis c'est plus compliqué parce que l'herbe commence à repousser sitôt que les boeufs l'ont mangée, et donc on a un phénomène du type paradoxe de Zenon: les boeufs mangent une fois le champ, pendant ce temps ça repousse, alors ils le remangent, mais ça a encore repoussé, etc (à moins de supposer que les boeufs mangent le champ instantanément, puis
se roulent les sabots pendant deux semaines, puis mangent la repousse instantanément). Il faudrait introduire la vitesse de pousse et la vitesse (surfacique!) des boeufs. On pourrait aussi raisonner en volume, puisqu'un boeuf mange par unité de temps un volume d'herbe, et non une surface.

bref, je doute qu'on s'en sorte avec la règle de trois...

Les considérations que tu ajoutes rendent tout simplement le problème insoluble. Il faudrait tenir compte d'éléments dont on ne dispose pas. Avec les éléments donc on dispose, il n'y a qu'une manière de résoudre le problème. L'hypothèse simplificatrice que l'on est obligé de prendre est que les boeufs broutent à la fois sur toute la surface du champ, mais "par le haut". D'ailleurs je pense que c'est ce qui est le plus proche de la réalité parce que je n'ai jamais vu un champ avec un coté complêtement rasé par les boeufs et de l'autre coté de l'herbe bien longue est fraiche à laquelle personne n'a jamais touché. Le boeuf va toujours brouter à l'endroit ou l'herbe est la plus longue.

De plus, on ne considère pas les quantités d'herbe en surface, avec d'une part la quantité d'herbe présente sur un are de terrain arrivé à maturité, et d'autre part la quantité d'herbe qui pousse sur un are de terrain en une semaine... c'est du volume ou de la masse, comme tu veux, mais en tout cas il est bien question de quantité d'herbe et pas de surface.

[rna]

Bonjour,
pour répondre à Jean-Paul

Effectivement, je me suis trompé, je n'ai pas tenu compte qu'il y avait 6 semaines. La réponse est bien 5 boeufs.

[invite986312212]

Les considérations que tu ajoutes rendent tout simplement le problème insoluble. Il faudrait tenir compte d'éléments dont on ne dispose pas. Avec les éléments donc on dispose, il n'y a qu'une manière de résoudre le problème. L'hypothèse simplificatrice que l'on est obligé de prendre est que les boeufs broutent à la fois sur toute la surface du champ, mais "par le haut". D'ailleurs je pense que c'est ce qui est le plus proche de la réalité parce que je n'ai jamais vu un champ avec un coté complêtement rasé par les boeufs et de l'autre coté de l'herbe bien longue est fraiche à laquelle personne n'a jamais touché. Le boeuf va toujours brouter à l'endroit ou l'herbe est la plus longue.

De plus, on ne considère pas les quantités d'herbe en surface, avec d'une part la quantité d'herbe présente sur un are de terrain arrivé à maturité, et d'autre part la quantité d'herbe qui pousse sur un are de terrain en une semaine... c'est du volume ou de la masse, comme tu veux, mais en tout cas il est bien question de quantité d'herbe et pas de surface.

ok, donc tu considères un champ sans dimension, donc comme une mangeoire qui est pleine en début de période et alimentée par un débit inconnu, mais proportionnel au volume de la mangeoire (donc à la surface du champ). A la fin de la période la mangeoire est vide (les boeufs ont mangé toute l'herbe présente au début plus toute celle qui a poussé).

il sufit donc de définir le bon foncteur de la catégorie (champs/boeufs) dans la catégorie (baignoires/robinets) pour résoudre le problème de façon classique.

[invite6b1e2c2e]

il sufit donc de définir le bon foncteur de la catégorie (champs/boeufs) dans la catégorie (baignoires/robinets) pour résoudre le problème de façon classique.

lol
Algébriste ?

__
rvz

[leg]

D'après ces données combien faudra t il de boeufs pour manger en 6 semaines l'herbe contenue dans 6 ares plus l'herbe qui a poussé pendant ces 6 semaines ??

alors ? qu'en pensez vous ??

a) avec un boeuf de plus cela réduit a 2 semaines la consommation dherbe sur 2 ares ,ce qui donnerait une consommation de 1are pour 2 semaines par boeuf
donc 0.5 ares par semaines en 6 semaines pour 6 ares l'herbe a pousser de 3 ares soit 9 ares et 9/0.5=18 boeufs.... non?

[leg]

a) donc 0.5 ares par semaines en 6 semaines pour 6 ares l'herbe a pousser de 3 ares soit 9 ares et 9/0.5=18 boeufs.... non?

pour 6 ares en 2 semaines nous avons 3 ares de plus ce qui donne 9 ares;
pour 6 semaines un total de 15 ares de nourriture 15/6 semaines = 2.5 ares
2.5/0.5= 5 boeufs pour consommer 15 ares d'herbes en 6 semaines
réponse arithmétique!

[leg]

T'es sûr, là ?
La vraie question : comment les élèves faisaient-ils sans algèbre ? Parce que c'est sûr : ils pratiquaient la règle de trois, pas l'algèbre.
Dans les années 1960, la SNCF faisait un concours de recrutement à peu près au niveau 3ème et l'algèbre était explicitement interdite.
En plus, je suis sûr qu'en 45 minutes,il y avait d'autres exercices.

bonsoir J P
a chaque opération arithmétique il devait y avoir un raisonnement du style:
combien d'herbe mange un boeuf en une semaine
2ares/4 = 0.5 par semaine

d'où si 2 boeufs mange 1 are en une semaine c'est qu'il a repoussé 0.5 are dans la semaine ,
ce qui revient a manger 0.5 are par semaine pour 2 boeufs donc il leur faut bien 4 semaines pour 2 ares et la repousse.

trois boeufs mange donc: 2ares +1are en deux semaines
par semaine =1.5a
par boeuf :1.5a /3b =0.5a par sem
quantité d'herbe qui pousse en six semaines:
pour 2 ares = 1 are en deux semaines
pour 6 ares =3 ares " "
pour six semaines :
3a*3a = 9 ares (faute 3a au lieu de 3, "3*2s")
quantité d'herbe a manger pour 6 ares en 6 semaines:
6a + 9a = 15a
quantité d'herbe a manger par semaine
15a/ 6s = 2.5a
nombre de boeufs qu'il faut:
2,5a / 0.5a = 5 boeufs.

il y avait une note pour le raisonnement et une note pour le calcul
une érreur de calcul par étourderie enlever 1/2 point par opération..
ainsi que l'oublie des mesures ou quantités aprés chaque chiffres ex :
2.5/05 = 5 était une opération "fausse"

(chaque opération était controlé avec la preuve par neuf,
on multiplié ou on additionné les reste (9) , en cas de doute on devait controler le nombre de 9 a droite et a gauche de la croix qui devait être identique ainsi que les deux restes..etc etc)

[kymoi]

Je n'ai pas le courage d'écrire ma démonstration
arithmétique, mais je trouve 9 boeufs

[leg]

Je n'ai pas le courage d'écrire ma démonstration
arithmétique, mais je trouve 9 boeufs

si 3 boeufs consomment 2ares et la repousse en 2 semaines, tu ne crois pas que 9 boeufs consomment 6 ares et la repousse en deux semaines? et non en 6s?
("si tu divises ton aire en trois parties,et tes 9 boeufs en 3,tu reviens au départ du prob, donc 2 semaines..")

[inviteb47fe896]

Je ne sais si ce problème a été posé au certificat d'études en 1904 mais je sais que c'est Newton qui l'a posé le premier - Il est posé à la page 18 ( N°11 ) du livre de Robert Deltheil : Cours de Mathématiques Générales. La solution algébrique nécessite l'utilisation d'un déterminant

[leg]

c'est Newton qui l'a posé le premier - Il est posé à la page 18 ( N°11 ) du livre de Robert Deltheil : Cours de Mathématiques Générales. La solution algébrique nécessite l'utilisation d'un déterminant

y'a t'il la réponse avec?
si oui il serait intérressant de la mettre sur le forum tel quelle. merci d'avance si c'est le cas.

[inviteb47fe896]

Le problème posé dans le livre R. Deltheil concerne 75 boeufs qui ont brouté en 12 jours l'herbe d'un pré de 60 ares , tandis que 81 boeufs ont brouté en 15 jours celle d'un pré de 72 ares. Combien de boeufs un pré de 96 ares pourra-t-il nourrir pendant 18 jours ?
Il faut prendre pour inconnues 1) la quantité d'herbe existant initialement par are et 2) la quantité d'herbe qui pousse quotidiennement par are.
Poser ensuite les équations.
La réponse est 100 boeufs.
Bon courage

[inviteb47fe896]

L'unité est la ration journalière d'un boeuf.
Les deux équations sont :
x + 12Y = 15
8x + 120y = 135
Le nombre n de boeufs est donné alors par :
96 x + 1728 y = 18 n

[kymoi]

Retificatif sur ma réponse d'hier --> 9 boeufs.
Après avoir repris les calculs sans chercher à détailler.

La croissance de l'herbe est de 50% par semaine, ce qui
fait qu'un boeuf consomme 1 are par semaine.

pour 6 ares pendant 6 semaines

(6+(6x300%)/1 = 24 boeufs

[leg]

Retificatif sur ma réponse d'hier --> 9 boeufs.
Après avoir repris les calculs sans chercher à détailler.
.
pour 6 ares pendant 6 semaines

(6+(6x300%)/1 = 24 boeufs

peut être , qu'il te faudrait détailler KIMOI ....

24b mange (0.5a *24) par semaine, soit 12ares
donc 72ares en 6 semaines
l'herbe repousse de 0.5a par semaine et pour 2a
alors je pense que tes boeufs vont mourrir de fain:
et que le boucher du coin va être content
faute de nourriture tes boeuf vont passer a la gamelle
a+