Bonjour,
Je voudrais savoir si le concept de déformation en mathématique est une notion relative aux algébres (ce qui justifie le titre) ou est-ce une notion plus génèrale?
Si quelqu'un peut expliquer le plus simplement possible (ce qui veut dire pour moi: compréhensible par un physicien) ce qu'est la déformation d'un algèbre.
J'ai rencontré cette notion dans le contexte de la physique a propos de déformation des algébres de Poisson et des algébres de Hopf
Bonjour,
C'est un concept assez general, qui peut s'appliquer a une algèbre ou a tout un tas de concept (en general on l'interprete geométriquement).
L'idée est simple, on a une famille d'objet paramétrée par un autre, tel qu'au dessus d'un point on ait un type d'objet, et au dessus d'un autre un autre.
Les deforations d'algèbre y en a des tas.
Dans le conexte des algèbres de Hopf, les déformées des algèbres de Hopf (commutatives et/ou co-comutatives) sont les groupes "quantiques". Une algèbre de Hopf c'est typiquement l'algèbre des fonctions algébriques sur un groupe algébrique (affine). Cependant la catégorie des algèbres de Hopf est beaucoup plus "souple" , de sorte qu'on peut par deformation (c'est a dire en faisant varier un paramètre q, qui intervient en general dans le co-produit) obtenir des algèbres non (co-)comutatives a partie d'algèbres (co-)commutative.
Mais y a plein d'autres contextes ou le concept de deformation (d'une algèbre ou non, il faut savoir que d'un point de vue géométrique une algèbre (unitaire, commutative) correspond simplement à une variété algébrique affine, donc la theorie peut etre vue géométriquement) intervient de manière naturelle. L'idée c'est toujours la meme, on a une famille d'objet qui interpole entre des objets soient qui permettent d'elagir le contexte d'etude (deformée d'algèbre de Hopf commutatives en algèbres de Hopf non commutatives), soit de transformer une situation compliquée en une situation plus simple par deformation.
J'ai cherché quelques references accesibles, je les ai lues en diagonales, elles ont l'air pas mal.
Tu pourras regarder ici (pour un introduction elementaire à la théorie des deformations des groupes de Lie, via leurs algèbres enveloppantes) ou ici (pour des tas d'exemples de deformations d'algèbres de Hopf). Pour des liens avec la physique voir ici
