Polynômes de complexes

[invitec10fd4f4]

Bonjour alors voilà je suis confronté à une difficulté concernant un exercice sur des polynômes de complexes.

Je m'explique :

On dispose de deux polynômes posés :

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Donc on reconnait que P_n(X)=Im((X+i)ⁿ) et Q_n(X)=Re((X+i)ⁿ)
Les premières questions nous demandent ainsi de calculer les premiers termes de montrer que les deux polynômes sont à coefficents réels et de degrés respectifs (n-1) et n. L'on montre ensuite la parité de Pn et Qn mais mon soucis vient à la question suivante à savoir "Déterminer les racines de Pn et Qn". Je n'ai aucune idée de comment il faut faire surtout que je ne peux pas avancer car la suite me demande de montrer :

"En travaillant sur la fonction : x ---> iⁿ[Q_n(x)-i*P_n(x)] , établir les deux relations suivantes :



"

En vous remerciant par avance de l'aide que vous pourriez m'apporter
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[gg0]

Bonjour.

Il est pourtant évident que si x est une racine de P_n,

Ce qui donne, après une petite modification, une équation de la forme dont tu connais sans doute déjà les solutions ...

Attention :

on reconnait que P_n(X)=Im((X+i)^n) etQ_n(X)=Re((X+i)^n)

C'est faux à priori, puisque tu parles de polynômes complexes, donc X n'est pas un réel (A priori, ce n'est pas non plus un complexe, mais la lettre X).

Cordialement.

[invitec10fd4f4]

Ok merci du coup je trouve comme racine pour P_n: , k variant de 1 à n-1 et pour Q_n : , k variant de 1 à n-1.

Mais donc finalement je vois pas bien en quoi ce résultat m'aide à avancer dans la question suivante (que j'ai écris dans mon tout premier message)

[gg0]

Moi non plus, mais est-ce nécessaire ?

A noter : tes racines doivent très bien se simplifier (on devrait obtenir des tangentes ou cotangentes). Essaie de multiplier haut et bas par exp(-ik pi/n) pour les racines de PN.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec10fd4f4]

Ah oui en effet on retrouve une cotangente (qui nous sera utile pour la suite du DM) et c'est bon j'ai pu trouver les 2 relations à démontrer merci de ton aide gg0, bonne fin de journée