Factorisation Polynômes complexes + Bézout

[invite78f958b1]

Bonsoir à tous et à toutes
Je bloque sur la factorisation d'un polynôme à coefficient complexes comme celle ci :

D(x)=X^3 -(6+3i)X²+3(3+4i)X-2-11i en sachant que admet une racine triple
*Un changement de variable est impossible,
*les nombres entiers de -3 à 3 ne sont pas des racines évidentes
*Factorisation directe impossible
*Le degré est 3 donc 3 solutions et puisque impair, il y aura une solution réel.(confirmé par l'énoncé)

Je n'ai pas d'autres pistes.


Voici mon second problème .
c et d sont deux polynômes premiers entre eux.
Comment déterminer les polynômes U et V tel que : Uc+Vd=1 et degU<deg d et degV<deg c.

*Après quelques recherches, il me semble que c'est un exercice relatif aux formules de Bézout (1 représentant le PGCD de c et d-----------> On peut le caculer avec la division Euclidienne).
* Deux polynômes sont premiers entre eux s'ils n'ont pas d'autres diviseurs communs que les polynômes constants

Pas d'autres pistes, pour le moment


Merci de votre aide.
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[inviteec33ac08]

As tu cherché si ce polynôme admettait un réel pur ou un imaginaire pur comme une des racines de D?

[invite78f958b1]

Bonsoir,
pour les racines imaginaires pures, j'ai calculé E(ki)=0 et apparemment il n'y en a pas.

pour les racines réels pures, je suppose que l'on doit aussi calculer E(ki)=0 et dans ce cas, c'est la partie imaginaire qui doit être nulle.
Cependant je trouve un polynômes du 3èmes degré et je ne peux avancer:

-k^3 + 12k-11.
Il me faudrait factoriser cette expression mais je bloque.

Merci de votre réponse

[invitebe0cd90e]

Salut,

Si tu sais qu'il y a une racine triple, ca te donne pas mal d'info utile :

- d'une facon générale, la formule du binome de Newton te dit que le coefficient en de est . Donc lorsque un polynome de degré n admet une unique racine d'ordre n, cette racine n'est autre que le coeff de divisé par . Donc sauf erreur dans ton cas c'est 2+I
- d'une facon encore plus générale, si un polynome admet une racine multiple, alors cette racine est encore racine de la dérive du polynome. Ici la premiere méthode est la plus efficace, mais si tu avais un polynome de degré 3 dont tu savais qu'il avait une racine double, tu pourrais te ramener facilement a un polynome de degré 2.

[A voir en vidéo sur Futura]