Problème

[invited927d23c]

Bonjour,

J'ai un problème que je n'arrive pas de résoudre :

J'ai beaucoup de pièces de 1 centime, plus de 1000 mais moins de 5000.
-Si j'en fait des tas de 10, il en reste 1.
-Si j'en fait des tas de 9, il en reste 2.
-Si j'en fait des tas de 8, il en reste 3.
-Si j'en fait des tas de 11, il n'en reste pas.
Combien ai-je alors fait de tas de 11?


Je suppose que le problème revient à calculer le nombre N de pièces.
- Comme il en reste 1 après la division par 10 on sait que le nombre de pièces en question se termine par 1 (unit&#233.
- N=11k (k entier naturel), pour que 11k se termine par 1 il faut que k=10q+1 (q entier naturel).
Et j'arrive de mettre plein d'autres conditions, mais pas de trouver le nombre en question.

Merci pour votre aide
-----

[martini_bird]

Salut,

le critère de divisbilité par 11 peut t'être utile: la somme alternée d'un multiple de 11 est un multiple de 11.

D'autre part la somme des chiffres doit être 2 ou 11 ou 20 ou... (critère de divisbilité par 9)

A partir de là, j'ai trouvé quatre candidats et une vérication manuelle m'a permis de trouver une solution.

Cordialement.

[Jeanpaul]

Le nombre s'écrit a b c 1
La divisibilité par 11 donne : a + c = b + 1 + 11 q
La division par 9 donne : a + b + c + 1 = 9 p +2
La division par 8 donne : 100 b + 10 c + 1 = 8k+3 car 1000 est divisible par 8
Des 2 premières, on tire : 2 b = 9 p - 11 q
On tâtonne un peu :
1) q=0 ? alors b = 9, a+c = 10 et 901 + 10 c = 8 k +3
d'où 10 c = 8 k'+6 donc k' = 3 ou 8, soit c = 3 ou 7. Le cas c=3 donne a = 7, qui est trop grand (nombre >5000), donc il reste le nombre 3971 qui convient
2) q=1 ? alors b=8, a+c = 20, impossible
3) q=-1 ? alors b=10 impossible

[invited927d23c]

Merci pour votre aide. Avec vos indications, quelques recherches sur google et pas mal d'essais, j'ai finalement réussi a trouver le nombre aussi.
J'avais pas penser à ce que le reste de la division de la somme des chiffres par 9 doit égal à 2 (je connaissais le critère pour la divisibilité par 9, mais le reste me gênais).
Mais je connaissais pas du tous la somme alternée, et le critère pour la divisibilitée par 8.
Il me manquait donc surtout quelques propriétés. Je crois que je vais refaire cette exercice quelques fois.

Sinon je bloque sur un autre exercice pour le moment :

Quel est le reste de la division de par 11? Dans des exercices similaire il y avait toujours un truc, mais dans celui la j'ai beau essayer je trouve pas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

Indication : essaie de trouver une puissance de 3 qui soit congrue à 1 modulo 11. Pas très dur.
Ensuite élève ce nombre à la puissance qui va bien.

[martini_bird]

Salut,

examine les restes des divisions par 11 de 3, 3², 3², 3³, etc.

Je ne t'en dis pas plus pour l'instant: je ne voudrais pas te gâcher le plaisir.

Cordialement.

EDIT: ah ben grillé par Jeanpaul...

[leg]

Bonjour,

- Comme il en reste 1 après la division par 10 on sait que le nombre de pièces en question se termine par 1 (unité).
- N=11k (k entier naturel), pour que 11k se termine par 1 il faut que k=10q+1 (q entier naturel).
Et j'arrive de mettre plein d'autres conditions, mais pas de trouver le nombre en question.

Merci pour votre aide

X = K11 =0(11)
X = 1(10), 2(9) et 3(8)
si K = 100 tu obtient :
X = 0(11) et 2(9)
or pour obtenir 1 (10) il te faut rajouter 81 a K
soit K =181 et 181 *11 = 0(11),1(10) et 2(9) il ne te reste plus qu'a trouver X tel que x= 0(11),1(10) ,2(9)et 3(8) ; > 3000 et <4000

[invited927d23c]

En écrivant les première puissance de 3, et en les divisant par 11 je dirais que le reste est périodique (période 5), c'est à dire que a le même reste que .
1999/5 à pour reste 4, donc le reste de la division de par 11 est le même que le reste de la division de par 11. Et donc la réponse est 4 car 81/11 à pour reste 4.

Si il y a plus simple dites le, parceque je m'entraîne un peu pour les olympiades. Parfois c'est tellement simple, mais parfois je vois pas du tous (et c'est justement là où je peux apprendre des choses).

[Jeanpaul]

Difficile de faire plus simple, non ?

[invited927d23c]

Merci de m'avoir mis sur la piste, sans vous je n'aurais probablement jamais trouvé le truc.