Classe C1

[invitee330a48f]

Bonsoir,

j'ai un problème pour déterminer si ma fonction est de classe C1 ou non.

La fonction est : pour (x,y) différent de (0,0), sinon

J'ai trouvé qu'elle est continue en (0,0), qu'elle admet bien des dérivées partielles en (0,0) par rapport à x et y et que les dérivées partielles sont les suivantes :
et

Pour déterminer si elle est de classe C1, je sais qu'il faut vérifier que et


Mais si je fais tendre vers 0 chacun des 2 dérivées je me retrouve à avoir une division par zéro. Mon raisonnement est sûrement faux mais je ne vois pas comment faire pourriez-vous m'expliquer?

Merci d'avance.
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[invite93e0873f]

Bonsoir,

Tu cherches à montrer que les fonctions et sont continues en . Pourtant, tu aurais montré que est continue en ce point et il s'agit vraiment du même type de difficulté : le dénominateur de tend aussi vers 0 lorsque .

Une idée afin d'analyser ces trois fonctions ailleurs qu'en (0,0) est de passer en coordonnées polaires . Nous nous rendons alors compte que est de la forme avec une fonction bornée et que tant que sont plutôt de la forme avec une fonction bornée aussi (malgré l'emploi répétitif de la lettre «g», les fonctions ne sont pas les mêmes). Ainsi, tant que que tendent vers 0 pour , qu'importe ce qui se passe en . Il reste alors à trouver les valeurs pour et en utilisant la définition de dérivée partielle et vérifier la continuité.

Cordialement