Théorème de la base incomplète (R3)

[invite7e43de7f]

Bonjour,
je suis entrain de travailler les anciens CC d'algebre.

Soit Ea un sous espace vectoriel de R^3 tq Ea = (x,y,z) tq x+y+az = 0;

Ea = <u1,u2> = vect (u1,u2) tq u1= (-1,1,0) u2=(-a,0,1)

/// Completer (u1,u2) en une base B" = (u1,u2,u3) de R^3 , ou u3 un vecteur que l'on determinera.

j'ai arriver a ce systeme!

u3(B1,B2, B3)

-K1 - a.K2 + K3.B1 = 0
K1 + K3.B2 = 0
K2 + K3.B3 = 0

je sais que pour que la famille soit libre, K1 K2 K3 doivent etre 0, alors j'arrive pas a trouver B1,B2,B3 pour le vecteur u3

Merci pour votre aide
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[invite179e6258]

il suffit de prendre un vecteur n'appartenant pas à Ea, donc dont les coordonnées ne vérifient pas l'équation donnée au début.

[invite7e43de7f]

il suffit de prendre un vecteur n'appartenant pas à Ea, donc dont les coordonnées ne vérifient pas l'équation donnée au début.

tu peux mexpliquer pourquoi sil vous plait

[invite179e6258]

l'équation x+y+az=0 définit un (hyper)plan de R^3. Tu as trouvé (ou on t'a donné) deux vecteurs qui engendrent ce plan. Pour obtenir une base de R^3 il suffit d'un troisième vecteur n'appartenant pas au plan. Il y en a beaucoup, par exemple (1,0,0)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

bonjour,
si l'equation est plus complexe et qu'une solution "évidente" n'apparait pas de suite ( comme celle donnée par Toothpick ) tu peux tj faire le produit vectoriel des 2 premiers en étant certain que le 3 ème sera forcement orthogonal aux premiers.