théorème d'Al-Kashi en conditions extrêmes

[Alphonse15]

Bonjour,

J'ai une petite question en apparence simple:
le théorème d'Al-Kashi donne-t-il les valeurs exactes des angles dans un triangle isocèle dont 2 des côtés sont 100 fois plus longs que le troisième ? Avec ce théorème, peut-on donc calculer avec une bonne précision la valeur du cosinus de l'angle le plus aigu ?

Question connexe: la formule donnant la longueur d'un arc de cercle reste-t-elle valable pour un angle inférieur à 1 degré ?
(formule: )

Sinon, par quelles autres formules les remplacer ?

Merci !
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[gg0]

Bonjour.

1) Le théorème d'Al Kashi est valable pour tous les triangles.
2) La formule () sur les longueurs d'arc est exacte pour tous les arcs.

En général, on fait des théorèmes exacts, en maths. Et généraux (si non, le théorème précise les conditions de validité).

" Avec ce théorème, peut-on donc calculer avec une bonne précision la valeur du cosinus de l'angle le plus aigu ?" Oui, puisque la formule est exacte, on peut calculer avec une précision totale. Après, si on fait des arrondis ....

Cordialement.

[Alphonse15]

Merci,
Effectivement ça semblait logique, mais mieux vaut être complètement sûr qu'à peu près persuadé..

[albanxiii]

Bonjour,

L'expression "en conditions extrêmes" n'a pas grand sens s'agissant d'un théorème de mathématiques.
Soit on est dans les conditions où le théorème s'applique, soit non.

Le théorème d'Al-Kashi s'applique aux triangles.

@+

[A voir en vidéo sur Futura]

[Dlzlogic]

Bonjour,
A mon avis, la question n'est pas si innocente que ça. Certainement mal exprimée, je suis d'accord.
Sauf valeurs particulières, le résultat du calcul d'une valeur d'angle ou de longueur par trigonométrie n'est jamais une longueur exacte.
Si on veut calculer l'angle aigu d'un triangle isocèle tel que décrit en hypothèse, il ne faut pas utiliser a formule d'Al-Kachi.
Je peux naturellement développer le sujet si ça intéresse quelqu'un.

[MMu]

Bonjour,

L'expression "en conditions extrêmes" n'a pas grand sens s'agissant d'un théorème de mathématiques.
Soit on est dans les conditions où le théorème s'applique, soit non.

Le théorème d'Al-Kashi s'applique aux triangles.

@+

Amusant ce théorème d'Al-Kashi qui n'existe qu'en France, et seulement depuis les années 1990 ...

[Alphonse15]

Si on veut calculer l'angle aigu d'un triangle isocèle tel que décrit en hypothèse, il ne faut pas utiliser la formule d'Al-Kachi.
Je peux naturellement développer le sujet si ça intéresse quelqu'un.

Eh bien en fait, moi, ça m'intéresse, si ça n'est pas trop demander, car j'ai bien l'impression que tout le monde utilise le théorème d'Al-Kashi, dans un triangle isocèle dont 2 des côtés sont 100 fois plus longs que le troisième.

Un message que j'aurais dû envoyer il y a 15 jours, si j'avais pu accéder au forum...

[gg0]

Bonsoir Alphonse15.

La valeur du cosinus donnée par la formule est évidemment exacte. Donc pas de perte de précision. C'est dans le calcul de l'angle qu'il peut y avoir un problème.
Par exemple, si AB=200, AC=201 et BC=2, alors la valeur de l'angle en A (je le note a) est exactement donnée par :


Ensuite, une valeur approchée de a peut être obtenue en radians par l'approximation

Qui donne

Qui donne pour a environ 0,00864 radians soit un demi degré.

Il est possible que d'autres calculs soient utilisés, en particulier par les arpenteurs et topographes; je ne les connais pas, je laisse Dlzlogic l'expliquer.

Cordialement.

[Alphonse15]

Merci.

Parfois la précision compte.

[gg0]

Si on a besoin de grande précision, on utilise des outils de calcul approché à grande précision, la fonction Arccos est facile à utiliser.

Cordialement.