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voisinage fermé d'un fermé



  1. #1
    raito12

    voisinage fermé d'un fermé


    ------

    Salut, je bloque sur un exercice de topologie:Soit F un fermé de et r>0. On pose F'=. Montrer que F' est fermé.
    Les () sont fermées, mais l'union est infini, donc on ne peut rien dire.De plus, je n'ai pas encore utilisé le fait que F est un fermé.

    -----

  2. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : voisinage fermé d'un fermé

    Bonsoir.

    Examine le complémentaire ...

    Cordialement.

  3. #3
    C.B.

    Re : voisinage fermé d'un fermé

    La distance de x à F est une application continue.
    Ne pourrait-on pas exprimer F' comme l'image réciproque de quelque chose ?

  4. #4
    raito12

    Re : voisinage fermé d'un fermé

    Examine le complémentaire ...
    Si on examine le complémentaire, on doit montrer que est un ouvert. On tombe dans le même problème: une intersection infini d'ouverts.
    La distance de x à F est une application continue.
    Ne pourrait-on pas exprimer F' comme l'image réciproque de quelque chose ?
    J'ai montré que F'= {} (f est l'application qui associe à chaque x de E d(x,F). Ainsi F' c'est l'image réciproque de [0,r] qui est un fermé, donc F' est fermé.Jusqu'ici, je n'ai pas utilisé le fait que F est un fermé, donc j'ai probablement commis une faute que je n'arrive à trouver.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Universus

    Re : voisinage fermé d'un fermé

    Citation Envoyé par raito12 Voir le message
    Si on examine le complémentaire, on doit montrer que est un ouvert. On tombe dans le même problème: une intersection infini d'ouverts.
    Il s'agit là d'une propriété commune à tous les espaces topologiques, qu'importe les sous-ensembles considérés. Or, nous faisons face à un cas plus spécifique, donc l'idée d'étudier le complémentaire peut probablement être suivie d'une autre façon.

    Soit dans le complément de . Notons et . Notons aussi et . Clairement, , donc . En trouvant une boule qui n'intersecte ni , ni , nous concluons le problème.

    J'ai montré que F'= {} (f est l'application qui associe à chaque x de E d(x,F). Ainsi F' c'est l'image réciproque de [0,r] qui est un fermé, donc F' est fermé.Jusqu'ici, je n'ai pas utilisé le fait que F est un fermé, donc j'ai probablement commis une faute que je n'arrive à trouver.
    Tu as alors probablement une erreur dans ta preuve que : si nous prenons plutôt , alors . Autrement dit, ta preuve devrait user du fait que est fermé, sinon nous avons le contre-exemple précédent.
    Dernière modification par Universus ; 14/11/2013 à 15h37.

  7. #6
    raito12

    Re : voisinage fermé d'un fermé

    [QUOTE=Universus;4664073]Il s'agit là d'une propriété commune à tous les espaces topologiques
    /QUOTE]
    De quel propriété vous parlez?
    Pour l'autre méthode, j'ai trouvé l'erreur que j'avais commise, merci.

  8. #7
    Universus

    Re : voisinage fermé d'un fermé

    Je me suis bien mal exprimé. Je voulais dire que le constat fait ne tirait profit que de propriétés générales des espaces topologiques, à savoir que la topologie n'est pas nécessairement stable sous l'intersection infinie ainsi que les relations de De Morgan. C'était un cul-de-sac assuré. Examiner le complémentaire, c'est généralement faire autre chose que ça.

    Il s'avère souvent plus simple d'argumenter que le complémentaire est ouvert que de prouver directement que l'ensemble d'intérêt est fermé, mais encore faut-il argumenter en tirant profit de la situation spécifique qui nous concerne. Dans l'idée de démonstration que j'aie présentée (et pour combler les trous laissés), il y a utilisation du fait que l'espace topologique est (un espace linéaire) et qu'il possède la topologie métrique habituelle. Cela permet de montrer que chaque point du complémentaire est dans l'intérieur du complémentaire, bref que le complémentaire est ouvert.

    J'ai néanmoins fait une erreur dans mon message précédent : la boule doit être comprise dans et ! Elle n'intersecte ni , ni .
    Dernière modification par Universus ; 14/11/2013 à 17h23.

  9. #8
    Jedoniuor

    Re : voisinage fermé d'un fermé

    Bonsoir,

    Est-ce que le plus simple n'est pas de raisonner ainsi:

    Soit y_n une suite d'éléments de F' qui converge vers y. Alors il existe une boule fermée $B_1$ par exemple de centre 0 , rayon R qui contient les $y_n$ et $y$. Par définition de F', il existe x_n dans F tel que la distance d(y_n,x_n) est inférieure ou égale à r. Il en résulte par l'inégalité triangulaire que x_n est dans la boule fermée de centre 0, rayon r+R. Mais on est dans R^m, donc une telle boule est compacte. Il existe donc une sous-suite x_{n_k} de x_n qui converge vers un z, qui sera dans F car F est fermé. Comme y_{n_k} converge toujours vers y, on a immédiatement que d(y,z) est inférieur ou égal à r, donc y est dans F', et par suite F' est fermé.

    Cordialement.

  10. #9
    Universus

    Re : voisinage fermé d'un fermé

    Cela me semble effectivement fonctionner. C'est d'ailleurs souvent les arguments utilisant les séquences qui sont les plus simples (pour autant que l'on connaisse tous les théorèmes nécessaires). Cela n'empêche pas de se familiariser avec d'autres approches, parfois plus performantes : celle de gg0 se concentre davantage sur les ensembles ouverts/fermés eux-mêmes, concepts à la base de la topologie, tandis que celle de C.B. prend avantage des fonctions continues.
    Dernière modification par Universus ; 14/11/2013 à 17h54.

  11. #10
    raito12

    Re : voisinage fermé d'un fermé

    Merci pour vos réponses. On n'a pas encore étudié la compacité, donc je n'ai pas bien compris la méthode de Jedoniuor. Mais bon, deux méthodes sont amplement suffisantes.

  12. #11
    Universus

    Re : voisinage fermé d'un fermé

    Sans connaissance de la compacité, j'ai l'impression que mon approche tombe aussi à l'eau!

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