Salut, je bloque sur un exercice de topologie:Soit F un fermé deet r>0. On pose F'=
Les
Bonsoir.
Examine le complémentaire ...
Cordialement.
La distance de x à F est une application continue.
Ne pourrait-on pas exprimer F' comme l'image réciproque de quelque chose ?
Si on examine le complémentaire, on doit montrer queExamine le complémentaire ...
J'ai montré que F'= {La distance de x à F est une application continue.
Ne pourrait-on pas exprimer F' comme l'image réciproque de quelque chose ?
Il s'agit là d'une propriété commune à tous les espaces topologiques, qu'importe les sous-ensembles considérés. Or, nous faisons face à un cas plus spécifique, donc l'idée d'étudier le complémentaire peut probablement être suivie d'une autre façon.Envoyé par raito12
Si on examine le complémentaire, on doit montrer que
Soit
Tu as alors probablement une erreur dans ta preuve queJ'ai montré que F'= {
Dernière modification par Universus ; 14/11/2013 à 15h37.
[QUOTE=Universus;4664073]Il s'agit là d'une propriété commune à tous les espaces topologiques
/QUOTE]
De quel propriété vous parlez?
Pour l'autre méthode, j'ai trouvé l'erreur que j'avais commise, merci.
Je me suis bien mal exprimé. Je voulais dire que le constat fait ne tirait profit que de propriétés générales des espaces topologiques, à savoir que la topologie n'est pas nécessairement stable sous l'intersection infinie ainsi que les relations de De Morgan. C'était un cul-de-sac assuré. Examiner le complémentaire, c'est généralement faire autre chose que ça.
Il s'avère souvent plus simple d'argumenter que le complémentaire est ouvert que de prouver directement que l'ensemble d'intérêt est fermé, mais encore faut-il argumenter en tirant profit de la situation spécifique qui nous concerne. Dans l'idée de démonstration que j'aie présentée (et pour combler les trous laissés), il y a utilisation du fait que l'espace topologique est
J'ai néanmoins fait une erreur dans mon message précédent : la boule
Dernière modification par Universus ; 14/11/2013 à 17h23.
Bonsoir,
Est-ce que le plus simple n'est pas de raisonner ainsi:
Soit y_n une suite d'éléments de F' qui converge vers y. Alors il existe une boule fermée $B_1$ par exemple de centre 0 , rayon R qui contient les $y_n$ et $y$. Par définition de F', il existe x_n dans F tel que la distance d(y_n,x_n) est inférieure ou égale à r. Il en résulte par l'inégalité triangulaire que x_n est dans la boule fermée de centre 0, rayon r+R. Mais on est dans R^m, donc une telle boule est compacte. Il existe donc une sous-suite x_{n_k} de x_n qui converge vers un z, qui sera dans F car F est fermé. Comme y_{n_k} converge toujours vers y, on a immédiatement que d(y,z) est inférieur ou égal à r, donc y est dans F', et par suite F' est fermé.
Cordialement.
Cela me semble effectivement fonctionner. C'est d'ailleurs souvent les arguments utilisant les séquences qui sont les plus simples (pour autant que l'on connaisse tous les théorèmes nécessaires). Cela n'empêche pas de se familiariser avec d'autres approches, parfois plus performantes : celle de gg0 se concentre davantage sur les ensembles ouverts/fermés eux-mêmes, concepts à la base de la topologie, tandis que celle de C.B. prend avantage des fonctions continues.
Dernière modification par Universus ; 14/11/2013 à 17h54.
Merci pour vos réponses. On n'a pas encore étudié la compacité, donc je n'ai pas bien compris la méthode de Jedoniuor. Mais bon, deux méthodes sont amplement suffisantes.
Sans connaissance de la compacité, j'ai l'impression que mon approche tombe aussi à l'eau!
