démonstration "from scratch" de la formule intégrale de Cauchy

[acx01b]

Bonjour,
je m'amuse à essayer de faire une démonstration "from scratch" de la formule intégrale de Cauchy, c'est à dire en utilisant uniquement la définition de "holomorphe sur un disque".


Donc, on suppose holomorphe sur le disque de rayon centré en 0.

On souhaite montrer que


On choisit un lacet le plus simple possible : c'est le cercle de rayon centré en

on fait le changement de variable , ce qui donne :


on fait tendre et puisque est holomorphe donc continue sur le disque de rayon on trouve :



enfin, on considère la dérivée de l'intégrale par rapport au rayon du lacet :


Pour montrer que (sans utiliser le théorème qui dit que l'intégrale sur un lacet d'une fonction holormorphe à l'intérieur de ce même lacet est nulle) je pense qu'on peut dire que pour très petit il existe tel que :


donc

ce qui implique et donc si bien que

d'où
Vous en pensez-quoi ? Vous voyez une erreur dans le raisonnement ? ça vous parait acceptable comme raisonnement, et comme façon de présenter la formule intégrale de cauchy ?
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[acx01b]

oups je m'apperçois que j'ai fait n'importe quoi :
dépend a priori de ...

Comment on peut faire pour ne pas avoir à démontrer que l'intégrale sur un lacet d'une fonction holomorphe est toujours nulle ?

[acx01b]

d'autant plus qu'à ce stade on ne sait même pas que est holomorphe

[acx01b]

Je pense avoir compris qu'il faut le Lemme_de_Goursat pour justifier le fait que l'intégrale de sur le cercle est nulle.

[A voir en vidéo sur Futura]

[acx01b]

Ok j'ai une démonstration du même style qui a l'air moins fausse, toujours de la forme allégée de la formule intégrale de Cauchy : on a une fonction holomorphe (dérivable au sens complexe, on ne sait pas encore que holomorphe implique et analytique) sur un disque de rayon centré en 0.

on considère la fonction avec :


on remarque que est continue par rapport à

on a :

et donc

on dérive par rapport à :



pour on fait une intégration par partie :


on remarque que est continue par rapport à , ainsi toujours pour :


enfin, on remarque que

ainsi


C'est quand on dérive par rapport à puis que dans l'intégration par partie on prend comme primitive (par rapport à ) de que l'on utilise le fait que est holomorphe.

[Armen92]

Bonjour,
je m'amuse à essayer de faire une démonstration "from scratch"

Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ?
La démonstration classique, avec pour seule hypothèse l'holomorphie sur un disque (et que l'on trouve un peu partout), est bien plus simple...

[acx01b]

salut,

merci de préciser de laquelle tu parles c'est justement ce qui m'intéresse d'avoir des points de vue sur quand/comment faut-il démontrer cette formule ?

[Armen92]

Voir les livres de Bass, de Titchmarsh, de Whittaker et Watson, d'Appel, d'Aslangul et de bien d'autres

[Seirios]

Il me semble avoir croisé des papiers dans The American Mathematical Monthly sur différentes démonstrations possibles de cette formule, ou sur des simplifications de parties de preuves existantes.

[acx01b]

Armen92 tu parles de celle qui utilise pour holomorphe
dans la région contenue par le lacet qu'on obtient à partir du Théorème_de_Green (Théorème_de_Stokes en 2D) ?

Moi je la trouve compliquée aussi. Celle que j'ai donnée (si elle n'a pas d'erreur) dit qu'en gros la première chose à remarquer pour les fonctions holomorphes c'est que leur transformée de Fourier sur un cercle (transformée de fourier en t de ) est liée par un coefficient simple à celle sur un autre cercle de même centre. Je trouve que c'est une propriété suffisamment forte pour justifier une dérivée, une intégration par partie, et une limite.

Celle qui se base sur le théorème de green (théorème qui j'ai l'impression ne se démontre pas proprement en 2 lignes pour un lacet en forme de cercle, sans parler du fait que j'ai lu, je ne sais pas si c'est vrai, qu'il fallait que les dérivées partielles soient continues ce qu'on ne sait pas ici), donc cette démonstration commence par remarquer que la fonction satisfait les équations de cauchy-riemann, puis avec le théorème de Green trouve que (c'est à dire que le coefficient 1 de la série de Fourier est nul) pour enfin arriver à la formule intégrale de cauchy.

[acx01b]

j'ai vu un truc rigolo : n'est à première vue pas forcément continue par morceau sous les hypothèses où on travaille, donc l'intégrer n'est pas très rigoureux. Je pense qu'on peut résoudre le problème en considérant la suite d'opérateurs linéaires où avec qui est l'opérateur qui approxime l'intégrale par une somme sur les rectangles de largeur . Pendant la démonstration on travaille sur qu'on fait tendre vers sa limite à la fin, si bien qu'on n'a plus à considérer d'intégrale avec du

Note : il faut définir un équivalent de l'intégration par partie pour cet opérateur, enfin un "truc" qui tend vers une intégration par partie quand on fait tendre vers sa limite