Equation d'un tronc de cône

[invite38236e50]

Bonjour à tous,

j'essaye d'écrire l'équation d'un tronc de cône mais je ne m'en sors pas.
je vous explique, j'ai un nuage de points 3D qui représente un tronc de cône que je dois modéliser.
il faut donc que je trouve les paramètres de ce tronc de cône à savoir un centre de cercle et un rayon à sa base, une hauteur, un demi-angle et un vecteur directeur pour son axe car on est en 3D et mon tronc de cône n'est pas forcément horizontal ou vertical.
j'ai essayé de le modéliser et de déterminer les paramètres de ce tronc de cône à l'aide d'une quadrique en calculant les paramètres par les moindres carres sous forme matriciel mais les résultats ne convergent pas, ni aussi par une compensation par les moindres carres avec l'équation d'un cône,
il faut savoir aussi que mes points sont assez mal répartis sur le tronc de cône car je ne les ai leves que d'un côté, d'un flanc, il est impossible de voir la totalité de ce tronc de cône.
mon tronc de cône représente en réalité un bout de tuyauterie industriel.
l'équation serait de la forme f(x,y,z) qui vérifierait qu'un point inconnu M (x,y,z) se trouve bien sur ce tronc de cône.
Après un calcul matriciel par les intermédiaires devrait me permettre d'aboutir mais je ne trouve pas cette fameuse équation.
ou du moins essayer de définir cette équation par deux centres 3D et deux rayons aux deux extrémites de ce tronc de cône, je ne vois pas comment la
ou si vous avez d'autres idées,
Merci par avance de votre aide.
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[invite51d17075]

l'idée, me semble-t-il est d'abord de trouver le vecteur directeur.
mais tu es flou sur les données que tu as:
- une partie ( un flan ) , fait-il au moins la moitié ?
- combien de points-as-tu ?

outre une résolution analytique, si tu as suffisament de points, tu peux aussi correler celà avec une vision graphique.
( il y a des logiciel pour ça )

[invite38236e50]

j'ai au total 120 points sur mon modele qui represente par serie de 10 points des cercles pris sur la partie exterieure du tronc de cône de la base au sommet, je suis geometre, j'ai pris les points qu'il mettait possible de voir au laser a la station totale, il me faut une equation donc de ce tronc de cône pour le modeliser et les logiciels que j'ai requiert un plus grand nombre de points exemple un scanner laser
et oui les points que j'ai represente plus de la moitie du cône

[invite51d17075]

message imprecis :
je reviens.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

ce n'est pas clair !
quels sont ces "cercles" ... horizontaux ?
si le cone est incliné, alors ce sont des elliipses!

[invite38236e50]

oui ce sont des cercles 3d inclines leves à 20m du tronc de cône et les points de ces cercles ne sont pas tout a fait sur un meme plan donc oui, le tronc de cône etant incliné, ils representent plutôt des ellipses dont la forme est proche d'un cercle.
l'equation d'une ellipse est plus complexe que celle d'un cercle donc pour simplifier, il est preferable je pense de considerer que ce sont des cercles, mais si on peut y arriver avec une ellipse, pourquoi pas ?
et pour l'equation, il faudrait calculer la distance d'un point du tronc de cône a la normale de l'axe de revolution defini soit par un vecteur soit par deux centres aux deux extrémités, mais c'est la le souci, comment l'ecrire sous forme d'equation ?
merci par avance en tout cas

[invite38236e50]

Bonjour a tous,
personne n'a donc de solution pour calculer une distance d'un point M a un tronc de cone defini par deux centres de cercle et un angle, angle de celui d'un cone plein.
merci par avance de votre aide

[invite51d17075]

tu peux aussi faire un effort.
quelle est l'équation de l'elipse à hauteur h d'un cone de demi angle theta et d'inclinaison alpha ?

[invite51d17075]

ce n'est pas pour t'embeter, mais donner l'équation revient exactement à resoudre totalement ton pb.
cherches un peu , ce n'est pas très difficile.

[invite38236e50]

c'est bien la le problème je ne m'en souviens plus, je suis sorti de l'ecole il ya 10 ans maintenant et c'esr difficile de se replonger dedans,
merci par avance de ton aide, je vais voir ce que je peux trouver de mon côté merci quand même

[invite51d17075]

OK, moi ça fait environ 30 ans, mais si personne ne s'y colle, je veux bien faire l'effort, même si je deteste la géométrie de base.
A+

[invite38236e50]

Rebonjour annset,

J'ai trouvé, je ne vais pas te le cacher, sur un forum l'équation d'une ellipse inclinée d'un angle theta de la forme
ile_tex.gif
mais pour intégrer la hauteur du cône à cette équation, je ne vois pas très bien comment faire,
et surtout je ne vois pas à quoi va me servir puisque je cherche la distance d'un point M (x,y,z) a un tronc de cône,
une ellipse 3D n'existe pas ou à moins que ce soit un ellipsoïde non ?

j'ai réussi à écrire l'équation d'un cône défini par un sommet K (xk, yk, zk), un vecteur unitaire (L, M, N) et un angle alpha du type
equation-cone.jpg
mais comme je l'ai dit plus haut, je n'ai pas de points sur le sommet du cône, mon tuyau représente un tronc de cône et les calculs par une compensation des intermédaires ne convergent pas mais divergent.
je ne vois plus comment faire ?
merci par avance de ton aide

[invite51d17075]

je ne comprend pas tes équations.
je m'y demain promis, c'est effectivement pas si immédiat!
cordialement

[invite38236e50]

Rebonjour,
voici mon raisonnement mais je pense que ce n'est pas complet, il manque à mon avis un vecteur normal à u à voir

merci de votre aide

[invite51d17075]

j'ai regardé de plus près, et effectivement ce n'est pas immédiat.
par ailleurs, je ne saisi pas du tout tes notations.
avec un dessin et des cotes, ce serait plus simple.
calcul initial :
si on prend H comme hauteur ( entre le milieu du cone à z=0 et son intersection avec le cone, on a:
R/H=tan(alpha+theta) ( l'un étant le demi angle du cone, l'autre l'inclinaison )
ensuite il faut calculer la largeur de la coupe du cone à cette hauteur et en déduire l'équation de cette intersection en x et y.

[invite51d17075]

de même , pour tout x entre 0 et R on a
x/H(x)=tan(alpha+theta)
désolé de ne pas finir tout de suite ( faute de temps )

[invite51d17075]

je vais écrire le pb autrement: ( alpha, demi-angle du cone, theta inclinaison )
si le cone n'est pas incliné son équation est
X²+Y²=Z²*tan²(alpha)
si on l'incline dans le plan(x,z) il faut faire un chgt de variable en ramenant aux x,y,z "réels" soit
X=xcos(theta)-zsin(theta)
Y=y
Z=zcos(theta)+xsin(theta)

on obtient une équation en x,y,z et l'intersection à hauteur z donne une équation en x et y en fct de z.

tu peux ensuite comparer tes mesures à z constant ( sur plusieurs z même ) et retrouver ce que tu cherches
(enfin j'espère )

[invite38236e50]

Bonjour annset
Pour finir et après plusieurs recherches, voici ce que j'obtiens avec comme paramètre
C le centre du cercle à la base, R son rayon, h la hauteur du tronc de cône et vecteur u, vecteur directeur de l'axe de ce tronc de cône,
j'ai figure.jpg
donc je peux écrire
formule2.jpg
ce raisonnement vous paraît il juste ?
Merci par avance de votre aide

[invite51d17075]

bonjour:
2 remarques,
je lis entre autre CM'=CM.v ( en vecteurs ) ?
un vecteur ne peut être égal à un produit scalaire.
ensuite, je ne vois rien qui ressemble à une équation de cone.
simplement des considérations d'angles sur la moitié d' un trapèze tel que présenté.

[invite38236e50]

que vaut dans ce cas CM' en fonction des paramètres que j'ai defini ?
et ce que j'ai ecris correspond a l'equation d'un tronc de cône et non d'un cône entier,
je ne veux pas d'equation avec des angles car je n'ai pas de points au dela de mon tronc de cône et je ne peux pas par consequent avoir des valeurs justes pour les angles

[invite51d17075]

tu n'as pas besoin d'avoir des valeurs sur tout le tour si tu sais que c'est un cone.
il suffit d'avoir un minimum de valeurs , mais je ne sais pas de combien tu en disposes et comment ils sont ( en gros ) répartis.
ps1 : la bonne écriture est (CM')=(u)*((u).(CM)) ( les parenthèses pour dire vecteurs )
ps2 : je peut essayer d'ecrire l'équation plus lisiblement.
l'idée étant que pour une hauteur z, tu ais suffisamment de points.
tu pourrait en déduire le rayon de base et les 2 angles, mais il me semble que ce n'est plus ce que tu cherches.
je ne sais plus.
cordialement.

[invite38236e50]

c'est bon on parle de la même chose, je n'arrive pas écrire des vecteurs dans mes réponses d'où la confusion
on a bien (CM')=(u)*((u).(CM)) ( les parenthèses pour dire vecteurs )
en élevant au carré cette expression et étant donné que la norme de u est 1, on a
CM'²=(vecteur (CM).vecteur(u))²
merci encore pour ton aide sur ce post

[invite51d17075]

bon je resume mon calcul.
dans le repère du cone on a :
X²+Y²=Z²*tan²(a) ( a demi angle du cone )
incliné de theta ( t) le cght de variable donne
X²=x²cos²(t)-xz*cos(2t)+z²sin²(t) et
Z²=z²cos²(t)+xz*cos(2t)+x²sin² (t)
Y²=y² soit
x²(cos²(t)-tan²(a)sin²(t))+y² =z²(cos²(t)tan²(a)-sin²(t)) +xy(cos(2t))(1+tan²(a)) et en résumé
Ax²+y²=Bz²+Cxz ( A,B et C dépendants des angles )

pour un z donné tu as certainement plusieurs valeurs de x et y
soit plusieurs équations avec les 3 inconnues A,B, et C.
on peut voir aussi par exemple que A-B=(1-tan²(a))