Bonjour à tous, j'ai un exercice à faire dans lequel je dois axiomatiser la classe des ordres denses avec premier et dernier élément (en logique du premier ordre), avec un langage réduit à {<}
La définition que l'énoncé donne d'un ordre est "un ordre dense est un ensemble, avec au moins deux éléments, muni d'un ordre strict tel que pour toute paire d'éléments distincts il existe un élément se trouvant strictement entre ces deux éléments".
Alors donc j'ai écrit les deux axiomes des ordres stricts, une formule pour la densité de l'ordre et une pour l'existence d'un plus petit et une autre pour l'existence d'un plus grand élément. Il me reste donc à écrire une formule pour impliquer l'existence d'au moins 2 éléments, mais je n'y arrive pas.
En effet, j'ai d'abord pensé à un truc du genre "Il existe x il existe y (x<y ou y<x)" mais cette formule impose que l'ordre considéré ne soit pas vide. Par exemple, l'ensemble {a,b} muni d'une relation < vide (a n'est pas en relation avec b ni b avec a) me semble être un modèle des ordres denses mais ne vérifierait pas la formule précédente.
Bref, je sèche... mais je finis même par me demander si c'est possible de trouver une formule qui impose l'existence de deux éléments distincts.
Voilà voilà, si quelqu'un sait faire ça, ce serait sympa de m'aider.![]()
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