Inéquation

[PetiteAnne]

Bonjour,

J'ai une inéquation qui normalement devrait être très simple à résoudre et pourtant, elle me pose des soucis.
N'ayant pas envie de mourir idiote, je vous explique mon problème en espérant que quelqu'un voudra bien m'aider.

L'inéquation à résoudre est la suivante :
(*)

Or, on remarque que est bien sûr toujours (même si c'est évident, on peut toujours le montrer :
).

Donc, ici . Maintenant, revenons à l'inéquation :










Malheureusement, ma réponse ne doit pas être correcte puisqu'il suffit de prendre dans l'inéquation de départ (*) pour s'en apercevoir :
on obtient alors que :
ce qui est évidemment faux (et pourtant 2>0 ...). Je ne vois pas où est mon erreur.
En fait, j'ai même l'impression que l'inéquation n'est jamais vraie, quelque soit x ...

Quelqu'un pourrait-il m'aider ?
Merci d'avance.
-----

[PlaneteF]

Edit : Suppr

[PlaneteF]

Bonjour,

Ce passage n'est pas correct.


Cordialement

[Universus]

En prenant le carré de chaque côté de l'inégalité, tu devrais plutôt obtenir , d'où . Là, cela fonctionne bien : par exemple pour , nous avons bel et bien .

Dans les faits, il y a besoin d'être prudent : de l'inéquation (où le membre de gauche est toujours vu comme la racine positive), si (de sorte que le membre de droite soit aussi positif), alors la croissance de la fonction racine permet de prendre le carré de chaque côté et d'obtenir l'inégalité mentionnée en début de ce message. Néanmoins, si , le membre de droite est négatif et alors il y a a priori le risque que (ce qui irait à l'encontre de l'inégalité du début).

Or, il est possible d'éviter tout recours à la prise des carrés en inversant le point de vue, démontrant plutôt que l'inégalité est impliquée par l'hypothèse : (l'inégalité ici est due à la croissance de la fonction racine ainsi que sur le fait que 2x<0 ici). En fait, cela prouve même le cas général x<0.

Donc, si et seulement si .

[A voir en vidéo sur Futura]

[mickan]

Bonjour,

Pourquoi un changement de signe d'inégalité?

[PetiteAnne]

Excusez-moi je me suis complètement trompée ... Je vais réécrire mon problème (je l'ai noté aujourd'hui dès que j'ai pu sur le forum carhier soir très tard, je calais sur cette simple inéquation mais en me relisant je me rends compte que je l'ai mal écrite).
Je suis vraiment désolée.

En tout cas, merci pour toutes vos réponses.

[PlaneteF]

Or, il est possible d'éviter tout recours à la prise des carrés en inversant le point de vue, (...)

Je ne vois pas où est le problème de passer par l'élévation au carré de l'inéquation, méthode qui est standard, claire et rapide :

On a :

1er cas : Si , dans ce cas la stricte croissance de la fonction carrée sur permet d’élever l'inéquation au carré et d'obtenir

Ce qui donne comme solutions dans ce cas :

2e cas : Si , dans ce l'inégalité est toujours vérifiée ce qui donne comme solutions dans ce cas là :


Donc au finish :


Cordialement

[PetiteAnne]

Je ne vois pas où est le problème de passer par l'élévation au carré de l'inéquation, méthode qui est standard, claire et rapide :

On a :

1er cas : Si , dans ce cas la stricte croissance de la fonction carrée sur permet d’élever l'inéquation au carré et d'obtenir

Ce qui donne comme solutions dans ce cas :

2e cas : Si , dans ce l'inégalité est toujours vérifiée ce qui donne comme solutions dans ce cas là :


Donc au finish :


Cordialement

Finalement, je n'ai plus de problème avec mon autre inéquation non plus. Merci !

Toutefois, j'ai quand même une question encore :
en fait, je me suis rappelée qu'hier, l'inéquation me posait déjà problème : en effet, si on prend et qu'on remplace dans l'inéquation, on a : (***)qui évidemment est correct mais ne l'est plus quand on élève au carré les deux côtés de l'inéquation :
mais (***) élevé au carré nous donne qui est faux. Quelqu'un pourrait-il m'expliquer ?

[PlaneteF]

(***)qui évidemment est correct mais ne l'est plus quand on élève au carré les deux côtés de l'inéquation :
mais (***) élevé au carré nous donne qui est faux. Quelqu'un pourrait-il m'expliquer ?

Attention, tu n'as pas le droit d’élever au carré une inégalité "froidement" comme tu le fais !

Par exemple prenons l'inégalité : qui est vraie.

Si tu élèves cette inégalité au carré on obtient , ce qui est faux.

Par contre, si et sont positifs, on a : car le fonction carrée est strictement croissante sur


Cdt

[PlaneteF]

Par contre, si et sont positifs, on a : car le fonction carrée est strictement croissante sur

D'ailleurs c'est bien cette propriété que j'utilises dans le message#7 lorsque j'écris :

1er cas : Si , dans ce cas la stricte croissance de la fonction carrée sur permet d’élever l'inéquation au carré (...)

On peut effectivement élever au carré l'inéquation dans ce cas parce que les 2 membres de l'inéquation sont dans ce cas positifs (et c'est bien pour cela que l'on distingue 2 cas).


Cdt

[PetiteAnne]

Un grand merci !

J'ai compris. Maintenant , je ne commettrai plus cette erreur quand j'élève au carré une inéquation (je traiterai au préalable les différents cas comme il se doit).

[Universus]

Je ne vois pas où est le problème de passer par l'élévation au carré de l'inéquation, méthode qui est standard, claire et rapide :

Je me permets alors de décortiquer mon message, qui était structuré comme suit :
1) Mentionner que le passage (cité par toi et mickan aux messages #2 et #5) était erroné.
2) «Corriger» le passage, mais souligner une subtilité dans l'approche «élever au carré des deux côtés» obligeant à considérer deux cas différents.
a) je considère le cas et je justifie pourquoi il n'y a aucun problème à élever au carré ; c'est ton point (a) du message #7
b) considérant la problématique que tu mentionnes aux messages #9 et #10, je considère séparément le cas . C'est ton point (b) du message #7 et tout comme toi dans ce message, je n'élève pas au carré les deux membres de l'inégalité.

Bref, nous disons les mêmes choses. J'admets néanmoins que mon message était sinueux, alors voici les étapes essentielles à la résolution du problème.

1) Pour , nous avons les inégalités et la prise des racines carrés donne (le sens des inégalités est maintenue dû au fait que la fonctione racine est croissante sur ce domaine).

2) Pour , en prenant les carrés de chaque membre des inégalités , nous obtenons (le sens des inégalités est maintenue dû au fait que la fonction carré est croissante sur ce domaine), cette dernière inégalité n'étant vraie que pour .

Ces deux étapes considèrent tous les cas de figure. La première prouve directement que les x strictement négatifs solutionnent l'inégalité d'intérêt. La deuxième étape peut s'interpréter comme une preuve par l'absurde que les x positifs ne solutionnent pas l'inégalité d'intérêt. Les raisonnements utilisés dans ces deux étapes sont en ce sens opposés (d'où le «en inversant le point de vue» de mon précédent message). Seule l'étape 2 utilise la méthode «prise des carrés» ; elle est certainement standard, mais l'utiliser pour considérer le cas me paraît une approche moins claire et rapide que celle présentée à l'étape 1) ci-dessus.

[gg0]

Bonsoir.

Il est possible de traiter directement le cas x<0, en remarquant que et que pour x<0, 1+x<1.

Cordialement.

[PlaneteF]

Seule l'étape 2 utilise la méthode «prise des carrés» ; elle est certainement standard, mais l'utiliser pour considérer le cas me paraît une approche moins claire et rapide que celle présentée à l'étape 1) ci-dessus.

Sauf que le cas est trivial avec réponse instantanée, pas besoin d'élever au carré ou d'employer une quelconque autre approche (un nombre strictement positif est toujours strictement supérieur à un nombre strictement négatif).

N.B. : C'était le point principal de ma remarque en message#7


Cordialement