Plan Perplexe Etendu

[Médiat]

Bonjour,
Il existe 3 -algèbres de dimension 2 : Les complexes , les nombres duaux et les nombres perplexes (ou complexes fendus) .

Une projection stéréographique de centre (0, 0, 2) permet de créer une bijection entre (identifié avec le plan z = 0) et la sphère de centre (0, 0, 1) et de rayon 1 privée du point (0, 0, 2), le point (0, 0, 0) (le seul élément de qui n'ait pas d'inverse) est un point fixe, et l'image de l'inverse d'un complexe qui tend vers 0, tend vers le point (0, 0, 2). Ceci établit une bijection continue entre le plan complexe étendu c'est à dire le plan auquel on a ajouté un point pour chaque élément n'ayant pas d'inverse, et la sphère (dite sphère de Riemann).

On peut faire la même chose avec les nombres duaux (de la forme , où ) les nombres duaux n'ayant pas d'inverse sont les nombres de la forme , soit la droite x = 0 (et z = 0), la projection de centre (0, 0, 2) sur le cylindre d'axe z = 1 et x = 0, et de rayon 1 établit une bijection entre et le cylindre privé de la droite z = 2 et x = 0, qui laisse la droite z = 0 et x = 0 fixe et l'image de l'inverse d'un nombre dual dont la composante réelle tend vers 0, tend vers un point de la droite z = 2 et x = 0. Ceci établit une bijection continue entre le plan dual étendu c'est à dire le plan auquel on a ajouté un point pour chaque élément n'ayant pas d'inverse, et le cylindre (dit cylindre de Blaschke).

Enfin, il est tentant de faire la même chose avec les nombres perplexes (de la forme , où ), les nombres perplexes n'ayant pas d'inverse sont de la forme ; le plan perplexe étendu est usuellement mappé sur l'hyperboloïde à une nappe d'équation .

J'ai trouvé dans la littérature que la "bijection" est aussi la projection de centre (0, 0, 2), mais pour cette projection, il me sembles que les points vérifiant x^2 - y^2 = -4 n'ont pas d'image, donc ce n'est pas une bijection, par contre les autres critères sont vérifiés.

J'ai essayé une projection à partir du point (-y, y, 2) si |x| < |y| et (y, y, 2) si |x| > |y|, c'est bien une bijection sur l'hyperboloïde privé des points et , les points des droites et sont bien fixes. Malheureusement, sauf erreur de calcul, les images des inverses de point qui tendent vers un diviseurs de 0, ne tend pas vers un point des droites exclues de l'hyperboloïde.

Quelqu'un aurait-il des idées, soit sur
1) Est-ce que j'ai mal compris le cas décrit là : http://www.rose-hulman.edu/mathjourn.../v12n2-8pd.pdf (page 7 qui est la N° 120)
2) Une autre bijection avec les bonnes propriétés

Merci d'avance et bonne journée à tous
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[Médiat]

Bonjour,

Pour préciser :
Soit et , un point de la droite a pour coordonnées , pour dire que ce point est sur l'hyperboloïde d'équation , il suffit d'écrire :


soit

et donc .

Mon souci c'est qu'avec ces formules les points (x, y, 0) tels que x^2 - y^2 + 4 = 0 n'ont pas d'image.
Si quelqu'un a une explication ...

[invite93e0873f]

Bonjour Médiat,

Tout d'abord, je suis vraiment heureux que cette discussion ait été ouverte. Je pense pouvoir y apporter quoi que ce soit de très pertinent, mais à l'inverse elle m'a apporté quelque chose de bien pertinent : la connaissance d'une classification des -algèbre bidimensionnelles, une question que je m'étais déjà posée sans trop m'attarder à y répondre... Le cas des nombres perplexes m'est d'autant plus intéressant qu'il peut être utile pour étudier l'espace-temps (1+1)-dimensionnel. Bref, merci pour la création de ce fil et pour les questions intéressantes qui y sont soulevées!

Il n'y a rien d'étonnant à ce qu'une projection depuis un point fixe ne puisse donner une bijection entre le plan et une hyperboloïde. En effet, cela revient au fait que les hyperboloïdes sont asymptotiques à un cône (non dégénéré), ce qui n'est pas le cas des autres surfaces quadratiques. Dans le cas des trois quadratiques (avec ), nous pouvons parler d'un intérieur de la surface, soit la composante simplement connexe du complément de la surface. Dans le cas de la sphère et du cylindre , n'importe quelle droite passant par un point dans l'intérieur intersecte la surface, tandis que pour l'hyperboloïde à une nappe c'est tout le contraire : n'importe quel point à l'intérieur de la surface admet une droite qui n'intersecte par l'hyperboloïde (même sous la contrainte que cette droite intersecte en un et un seul point le plan ). Dans le cas des point sur la surface, n'importe quelle droite intersectant le plan intersecte la sphère ou le cylindre en autre point, mais pour l'hyperboloïde il existe toujours une droite n'intersectant pas davantage la surface.

Dans le cas précis du point fixe , puisque le cône est asymptotique à l'hyperboloïde, le cône « parallèle» comprend toutes les droites passant par le point fixe et n'intersectant nulle part ailleurs la surface. On remarque bien que le plan intersecte ce cône précisément là où .

Pus généralement, il est impossible en fixant le point de projection d'obtenir une bijection entre le plan et l'hyperboloïde. Vous l'aviez probablement déjà remarqué à la vue de la bijection considérée dans votre premier message. Néanmoins, les autres critères à respecter ayant une nature géométrique moins directe, je ne sais pas s'il est possible d'obtenir une bijection ayant toutes les propriétés recherchées...

J'y pense de mon côté.

Cordialement

[Médiat]

Bonjour Universus,

Merci de votre réponse.

la connaissance d'une classification des -algèbre bidimensionnelles, une question que je m'étais déjà posée sans trop m'attarder à y répondre... Le cas des nombres perplexes m'est d'autant plus intéressant qu'il peut être utile pour étudier l'espace-temps (1+1)-dimensionnel.

Si ce sujet vous intéresse, je peux vous proposer : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3958180, en particulier les §VII 1, VIII 1 (que j'essaye de compléter en ce moment) et IX 1

En fait ce que je ne comprends pas c'est que ce point n'est soulevé dans aucun des documents que j'ai pu lire sur le sujet, au départ ce que j'ai essayé de comprendre, c'est pourquoi les points à l'infini du plan perplexe sont les points correspondant à , pour (ce qui me pose problème, c'est et non (qui lui s'explique très bien)), n'ayant trouver aucune explication j'ai refait les calculs espérant trouver une explication et je suis tombé sur plus de problèmes ...

Il me reste quelques bouquins à lire ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite93e0873f]

Merci beaucoup pour les documents ; je les lirai certainement dès que possible!

La question concernant le domaine de est intriguante...

Note : Dans mon précédent message, je voulais bien évidemment dire «je NE pense PAS pouvoir y apporter ...» ...