centre de gravite d'un quart d'ellipse

[invite9c08daf4]

Bonjour,
Je voudrais un coup de main après avoir essayer de calculer:

on a comme données x>=0 et y>=0 avec x^2/a^2+y^2/b^2<=1

comment on peut calculer les coordonnées du centre gravite de l'ellipse sachant qu'on a:

xc=double intégrale de (xdxdy/dxdy) et yc= double integrale de (ydxdy/dxdy) (xc et yc les coordonnees )

comme bornnes je connais que le ZERO les autres comment je peux les trouver aussi problème concernant a et b c'est des inconnues

on a aussi aire ellipse= 1/4pi.ab

merci pour votre lecture et pour votre coup de main
cordialement
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[taladris]

Salut,

qu'est-ce que dxdy/dxdy?

Par definition, le centre de gravite est (pour une densite constante normalisee a 1) le point defini par et ou A est l'aire du domaine et et sont les moments par rapport a l'axe et .

Tu peux la calculer en utilisant le theoreme de Fubini pour obtenir une double integrale, ou bien via un changement de variables et pour obtenir une integrale sur un quart de disque. Eventuellement, tu peux utiliser la formule de Green si tu la connais.

Par ailleurs, l'aire d'une ellipse est . Ce que tu ecris est l'aire d'un quart d'ellipse.

Cordialement

[gg0]

Le centre de gravité de l'ellipse est son centre de symétrie.
Pour le quart d'ellipse, il faut effectivement utiliser les formules d'intégrale double.

Cordialement.

[CM63]

Bonjour,

...aussi problème concernant a et b c'est des inconnues

Non, a et b ne sont pas des inconnues mais des données du problème.

Sinon, à une affinité près, le problème revient à trouver le centre de gravité d'un quart de cercle, et on peut alors transformer l'intégrale double en une intégrale simple.

Bonne journée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9c08daf4]

Bonjour, et merci pour vos réponses,
Pour les bornes est ce que on utilise des coordonnées polaire et après on prend le r entre 1 et 0 et
l'angle entre 0 et 2 pi?
aussi pour le a et b comment on peut les éliminer
merci
Aurevoir

[gg0]

Des coordonnées polaires ne sont sans doute pas la meilleure idée. D'autant qu'on va avoir au départ une intégrale "facile". Tu sais calculer une intégrale double par deux intégrations, tu y vas.
a et b ne vont pas s'éliminer, ils définissent l'ellipse considérée. Les coordonnées du centre de gravité dépendent de a et b, Elles sont même proportionnelles à a et b (évidence géométrique) donc à ab. a et b sont des paramètres.

Allez, à toi de faire ...

[taladris]

Par ailleurs, l'aire d'une ellipse est . Ce que tu ecris est l'aire d'un quart d'ellipse.

Bizarrement, l'aire de la region bornee par l'ellipse n'apparait pas dans mon precedent message.

Pour les bornes est ce que on utilise des coordonnées polaire et après on prend le r entre 1 et 0 et
l'angle entre 0 et 2 pi?

Mis a part le cas ou on a un cercle, l'ellipse n'a pas une equation simple en coordonnees polaires. L'utilisation de ces coordonnees n'a de sens qu'apres le changement de variables suggere par CM63 ou moi-meme. De toute facons, le calcul est plutot simple, et il n'y a pas de methode beaucoup plus simple qu'une autre.

Il ne te reste plus qu'a te lancer dans le calcul!

Cordialement