Morphisme et autres

[invite5b372a80]

Bonjour à tous

Je cherche à comprendre précisément ce qu'est un morphisme. En fait, je suis allé sur Wikipédia, mais je ne comprends pas bien la définition, car Wiki emploie dans celle-ci trop de notions qui me sont inconnues... et dès que je clique sur l'une d'entre elles, je suis confronté au même problème: définition incompréhensible, soit parce qu'elle est trop vague, soit parce que je ne cerne pas toutes les notions.
Je poste donc ceci pour vous demander si vous pourriez m'expliquer les morphismes, en m'expliquant auparavant toutes les notions nécessaires pour comprendre, et en me donnant quelques exemples.
Le mot "autres" dans mon titre fait référence à d'autres notions que je voudrais cerner, comme les groupes, les anneaux... Enfin bref... Pleins de notions basiques des mathématiques que j'aimerai comprendre.

Je précise pour vous donner une idée de mon niveau, que je suis en Terminale S.

Merci à vous.

Léo
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[invite427a7819]

Bonjour,

Il s'agit là d'un cours qui prend quelques semaines en maths sup (si ma mémoire est bonne).

Je te recommande cette adresse : les cours qui t'intéressent sont celui sur les lois de composition interne (section "algèbre générale") et celui sur les groupes (section "algèbre et géométrie").

N'hésite pas à repasser s'il te reste des questions après lecture de ces cours.

Cordialement,
Elwyr.

[invite5b372a80]

Merci ! Je prends le temps de regarder tout ça et je reviens vers vois si je rencontre des difficultés.

[Médiat]

Bonsoir,

Il y a deux façons de parler de morphismes :

1. La théorie des catégories, pour laquelle la notion de morphisme est une notion première (j'ai bien conscience de ne rien expliquer ici, mais entrer dans les définitions ne vous servirait sans doute pas à grand-chose).
2. La logique mathématique, dans ce domaine, on considère 2 structures, c'est à dire 2 ensembles E et F munies de constantes (0, 1 ec.) et/ou de relations (relation d'ordre par exemple) et/ou de fonctions (les opérations, par exemple, sont des fonctions). Un morphisme est une fonction de E vers F, qui envoie chaque constante de E sur la constante correspondante de F ; pour chaque Relation R (ici je prend un exemple de relation binaire) : si a R b alors f(a) R' f(b) si a R b (R' étant la relation dans F qui correspond à R dans E) ; pour chaque fonction h (ici je prends une fonction binaire) h'(f(a), f(b)) = f(h(a, b)) dans le cas d'une opération on a, par exemple f(a+b) = f(a)*f(b).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5b372a80]

Je n'ai pas tout compris (notamment l'histoire avec la fonction h), mais grosso modo, si j'ai compris au moins ceci, ce que j'appelle une fonction de R dans C par exemple, c'est en fait un morphisme ?
Si je prend une fonction f telle que :
f : R --> C
x --> x*i
alors c'est un morphisme ?

Cdt

[PlaneteF]

Bonsoir,

Je n'ai pas tout compris (notamment l'histoire avec la fonction h), mais grosso modo, si j'ai compris au moins ceci, ce que j'appelle une fonction de R dans C par exemple, c'est en fait un morphisme ?
Si je prend une fonction f telle que :
f : R --> C
x --> x*i
alors c'est un morphisme ?

Relis le message de Médiat, un morphisme n'est pas défini entre 2 ensembles "à poil" , mais entre 2 ensembles possédant une même structure. Les premières structures que l'on rencontre dans l'enseignement supérieur sont généralement les groupes, les anneaux et les espace vectoriels. On parle alors respectivement de morphismes de groupes, morphismes d'anneaux et d'applications linéaires. Maintenant il s'agit là de 3 cas particuliers d'un concept plus général.

Cordialement

[PlaneteF]

Comme complément à mon précédent message, tu as par exemple la fonction logarithme népérien qui est un morphisme de groupes du groupe dans le groupe .

Cela est justifiée par la relation :


Cdt

[Médiat]

Bonjour,

Je reprécise pour le cas d'une fonction à 3 variables :

Soit et deux ensembles munies d'une certaine structure qui est définie par une fonction à 3 variables qui s'appelle dans et dans , c'est à dire :
et , pour que soit un morphisme pour la structure ci-dessus, il faut que :

, autrement dit le diagramme ci-dessous est commutatif :

Une remarque : je n'ai pas eu besoin de connaître la moindre propriété de h (à part son nombre de variable) pour définir un morphisme, c'es à dire que seul le langage utilisé (la liste des constantes, des fonctions, des relations) est nécessaire, les axiomes vérifiés par ces éléments ne servent à rien dans la définition d'un morphisme.

[invite5b372a80]

D'accord, je pense commencer à capter.
Dans votre message Médiat, le morphismeest en fait une relation, qui lie les ensembles E et F entre eux, c'est ça ?
De plus, pour exprimer un morphisme, on définira les ensembles de départ et d'arrivée ET les lois qui régissent ces ensembles.
Jusqu'ici, je pense être dans le vrai n'est-ce pas ?

Simplement à propos des lois, une chose me chiffonne, je ne vois pas vraiment très bien la différence entre la multiplication et l'addition par exemple: au fond, la multiplication de x par y revient à additionner un nombre x de y entre eux, ou un nombre y de x entre eux. Donc on pourrait dire que la multiplication n'est qu'une addition non ?
Et donc deux ensembles R,+ et R,+,x sont-ils réellement différents ?

Deuxième pb, si on écrit a÷b=c tels que a,b appartiennent à l'ensemble I^2 et c à l'ensemble I. Ceci voudra-t-il dire que c'est un morphisme de I^2,÷ dans I ou pas du tout ?
En fait, le deuxième pb réside je pense, plus dans la notation que dans autre chose.

Merci

[gg0]

Bonjour Léo11.

Donc on pourrait dire que la multiplication n'est qu'une addition non ?

Heu ... au moins une répétition d'addition, pas une addition.
Sans compter que 3,4*7,5 ^pose problème pour répéter 3,4 fois ou 7,5 fois une addition. Ou bien 0,5*0,7. Ou mieux (2+3i)*(5i).
Et additionner 0 ou multiplier par 0, ça ne fait quand même pas le même effet ...

Non, sérieusement, confondre les deux n'est pas une bonne idée.

Cordialement.

[invite5b372a80]

Ah oui, c'est vrai, surtout pour i*i, je n'y avais pas pensé. Merci

[PlaneteF]

Et donc deux ensembles R,+ et R,+,x sont-ils réellement différents ?

Ce sont forcément 2 structures différentes, dans le premier cas R est muni d'une seule loi, dans le 2e cas de 2 lois. Par exemple une structure de groupe qui est munie d'une seule loi interne n'est pas la même chose qu'une structure d'anneau qui est munie de 2 lois internes.

Ceci voudra-t-il dire que c'est un morphisme de I^2,÷ dans I ou pas du tout ?

Encore une fois un morphisme est défini entre 2 ensembles dotés d'une même structure.


Cdt

[invite5b372a80]

D'accord, merci à tous de m'avoir aidé ! Je vais continuer de me documenter un peu et je reviens vers vous si besoin est.

Cdt

[Médiat]

Je dirais plutôt entre deux ensembles interprétant le même langage, car les axiomes définissant les structures (de groupe, de groupe abélien de demi-groupe etc.) n'entrent pas dans la définition du morphisme.

[Médiat]

J'ai corrigé une erreur dans mon message précédent (propriété pour les relations, l'implication est dans un seul sens), mais rien qui impacte sérieusement la compréhension e la notion de morphisme.

Relis le message de Médiat, un morphisme n'est pas défini entre 2 ensembles "à poil" ,

Un ensemble "à poil" est une structure interprétant le langage muni exclusivement de l'égalité, on peut donc parler de morphisme, mais dans ce cas un morphisme n'est rien 'autre qu'une application.