évaluation d'une matrice en un point x

[invite070b30b2]

Bonjour,

Voici une question difficile sur laquelle je butte depuis des semaines.
Soit a un endomorphisme défini sur par , . Comment calcule-t-on l'opérateur (l'évaluation) tel que ?
Si vous voulez, prenons l'exemple où pour lequel Spec(a)=(4,-1).
L'idée de l'exercice est de trouver l'analogue matriciel non commutatif de la transformation de Gelfand, qui associe à toute c*-algèbre commutative un espace topologique localement compact. L'exercice est ici "concret" dans le sens où les algèbres de matrice agissent sur des espaces de Hilbert, ce qui permet l'application de l'analyse fonctionnelle. Pas simple !

Merci
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[gg0]

Drôle d'idée que de reposer le même sujet sur un nouveau forum sans avoir modifié quoi que ce soit malgré de nombreuses réponses qui demandaient des explications !
Ton message n'étant pas clair, tu ne seras pas mieux compris !!

Il est probable que tu ne te comprends pas non plus ...

[invite070b30b2]

gg0, ne confondons pas une question mal posée et un problème sans solution. J'admet que le problème puisse être sans solution, mais dans ce cas je veux comprendre pourquoi. Une fonction d'évaluation est un objet mathématique parfaitement connu. De ce fait la question est parfaitement claire : peut-on calculer la fonction tel que ? Soit c'est possible soit c'est impossible, mais il faut alors savoir pourquoi.

[Médiat]

Bonjour,

Oui on peut : , cette formule vous donne la valeur de pour chacune des valeurs de la variable .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite070b30b2]

mais justement, a n'est pas une variable, c'est un endomorphisme. Dans le cas des algèbres abstraites, la solution passe par le spectre de a. Ici c'est une algèbre de von Neumann (non commutative). S'agirait-il de passer par le calcul fonctionnel holomorphe ?

[Médiat]

mais justement, a n'est pas une variable, c'est un endomorphisme.

C'est donc une variable appartenant à l'ensemble des endomorphismes de ; il faut absolument que vous précisiez ce que vous voulez !
Et je ne vois rien dans votre premier message qui puisse me faire penser à des fonctions d'une variable complexe.

[inviteea028771]

Je ne comprend pas la question moi non plus. Si il s'agit d'évaluer la matrice au point , il suffit de calculer Mx, ce qui donne le vecteur



Mais je suppose qu'il y a quelque chose d'autre qui te bloque

[invite179e6258]

@ideation : tu donnes la façon de calculer epsilon_x (qui est une application de L(E) dans E) et tu demandes comment le calculer, c'est paradoxal.

[invite070b30b2]

Prenons une c*-algèbre commutative f. Gelfand lui associe son spectre X qui est un espace topologique compact. Le théorème de Gelfand dit en substance qu'un point x de X correspond à un caractère tel que . Supposons que X soit doté d'une métrique. La mesure permet d'intégrer les fonctions, et définit une application telle que (ce que vérifie tout caractère). On récupère ainsi X à partir de A. Mais ça c'est dans le monde commutatif. Comment fait-on dans le monde non commutatif ?

[invite47ecce17]

Bonjour,
Justement dans le monde non commutatif comme tu dis, il n'y a pas de X, mais l'idée c'est de faire comme s'il y en avait un.
En fait il est équivalent de se donner un espace séparé loc compact ou une C^*-algèbre commutative (si tu te donne X, l'algèbre est celle des fonctions continues à support compact, et si tu te donnes A alors l'espace X est l'ensemble des caractères de A muni de la topologie de Gelfand).
Quand on se donne simplement une C^*-algèbre non commutative, on fait comme si on avait un X, et on interprete A comme l'agèbre des fonctions continues à support compact sur cet X (qui n'existe pas).

[invite070b30b2]

merci Mipama, là on avance. C'est bien ce qui me bloquait : que les matrices sont des algèbres sans caractère. Mais si on fait "comme si", peut-on toujours associer un espace topologique ("non commutatif") à une algèbre donnée. Dans le cas des matrices finies, il me semble qu'on devrait quand même retrouver des points (car on est dans le facteur In). Donc comment fait-on concrètement pour retrouver les points ?

[invite47ecce17]

Deja il est clair que l'espace des points d'une C^* algèbre non commutative, disons A, ne peut pas etre un espace toplogique. Au sens ou on ne pourra jamais injecter A dans C(X) pour des raisons triviales.
L'idée c'est que les carractères d'une algèbre commutative, donc on peut retrouver une version de l'espace des points de A, en regardant ses representations irreductibles dans un Hilbert.

[invite070b30b2]

ce que tu veux dire, dans ta dernière phrase, c'est qu'il faut passer par la représentation GNS ?

[invite47ecce17]

Non, la représentation GNS c'est autre chose, c'est relier la notion de points au sens (classes de) representations irreductibles, à la notion d'etat, qui est sans doute plus naturelle (du moins pour une physicienne comme moi).
Ce que je dis dans mon precedent message c'est que l'analogue le plus immédiat de la notion de (foncteur des) points, est donné par A -> Irr(A) où Irr(A) est l'ensemble des classes de representations irreductibles (continues bien sur) de A dans H un Hilbert.

Edit, dans mon message il manque un bout de la dernière phrase, qui devrait etre "les carractères d'une algèbre commutative ce sont exactement ses représentations irreductibles, qui sont de degré 1, because commutativité de la dite algèbre, donc l'analogue de cà pour une algèbre non commutative c'est Irr(A)".

[invite070b30b2]

ok merci Mipama, je retourne au travail avec tes infos, en espérant que ça me débloque. Comme quoi les algèbres d'opérateurs ça ne se trouve pas sous les sabots d'un mathématicien, mais d'une physicienne !