produit scalaire

[invitedf1fac06]

Bonjour ! Voilà, j'ai un exercice à faire pour demain mais je n'y arrive pas alors quelques indications ne seraient pas de refus :

on a : ABCD un quadrilatère (quelconque)
I milieu de [AC] et J milieu de [BD]

a) démontrer la relation :
AB² + BC² + CD² + DA² = BD² + AC² + 4*IJ²

J'ai donc changé les longueurs au carré en carré scalaire pour pouvoir utiliser la relation de Chasles.

Et comme I milieu de [AC], IA = -IC = (1/2) CA (en terme de vecteurs évidement)
Idem : JB = -JD = (1/2) DB

Je pensais donc pouvoir partir de la première partie de l'inégalité pour arriver à la deuxième, seulement je fais des calculs sans fins et je n'abouti jamais à ce que je dois trouver... alors si vous avez une idée (même une toute petite) ce serait gentil.
Merci d'avance
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[invite86822278]

La relation de Chasles suffit.
En omettant les flèches des vecteurs, je suis parti de :

après développement de l'expression, tu obtiens les deux carrés AC² et BD² et une somme ou tu intoduis IC et DJ là ou cela est possible (sans Chasles, juste en utilisant que I et J sont des milieux)
On remarque alors que la somme est exactement égale à 4IJ².
J'avoue avoir peu envie de réécrire le calcul en ...

[invite4298f099]

bjr,

oui enfin comme tu proposais, c'était parfait. Tu écris les longueurs au carré en carrés sclaires puis tu utilise la relation de chasles sur tous les vecteurs en prenant soin de faire intervenir I et J.
ex : AB²=(AI+IJ+JB).(AI+IJ+JB)
Tu développe tout ça et en tenant compte des faits que I et J sont les milieux de AC et BD, tout se simplifie!

[invitedf1fac06]

J'ai testé les deux méthode : avec celle de rémokub je trouve :
AB²+BC²+CD²+DA² = BD * (2AC + 4IJ)
j'aimerais simplifier mais je ne vois pas comment, en plus là j'ai des vecteurs et je dois passer par le fait que les carrés scalaires sont égaux aux longueurs car la réponse attendue est avec des longueurs...

Avec la méthode de ginkoTA : j'obtiens
AB²+BC²+CD²+DA² = AC²+BD² + 4(CD+JI)²
si quelqu'un a une idée pour simplifier "CD+JI" en "IJ" car à moins que je ne me sois trompée dans mes calculs je ne vois pas comment faire.
Merci ^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite86822278]

J'aurais tendance a dire que tu t'es trompée dans tes calculs... vu que tu arrives à quelque chose de faux par rapport à la question posée (à moins que CD=0 ce qui n'est pas le cas)

[invitedf1fac06]

Bon... ça fait une heure que j'essaye mais je n'y arrive vraiment pas...
cette fois je trouve :
AB²+BC²+CD²+DA² = AC²+BD²+4IJ² + 4DC²+8CI²+......plein de produits scalaires que je ne peux pas simplifier...

je pense que ta méthode est bonne, c'est juste que je n'arrive pas à simplifier et là ça commence franchement à m'énerver...
je vais réessayer mais bon...

[invite4298f099]

on reprend....

AB²+BC²+CD²+DA²=
(AI+IJ+JB).(AI+IJ+JB)+(BI+IJ+J C).(BI+IJ+JC)+(CI+IJ+JD).(CI+I J+JD)+(DI+IJ+JA).(DI+IJ+JA)=
AI²+IJ²+JB²+tous les doubles produits+
BJ²+JI²+IC²+tous les doubles produits+
CI²+IJ²+JD²+tous les doubles produits+
DJ²+JI²+IA²+tous les doubles produits.

J'écris pas les doubles produits car en utilisant DJ=-BJ et CI=-AI, tout s'annule. Ensuite les 4IJ² sont écrits dans cette somme, il reste alors AI²+JB²+BJ²+IC²+CI²+JD²+DJ²+IA ² et ça donne le bon résultat puisque BD²=(2BJ)²=(2JD)² et AC²=(2AI)²=(2IC)²

Ca ira comme ça?

[invitedf1fac06]

Je suis perplexe : car il me semble que
(BI+IJ+J C).(BI+IJ+JC) = BI²+IJ²+JC²+ 2BI.IJ +2IJ.JC +2BI.JC

or tu me dis que

(BI+IJ+J C).(BI+IJ+JC)=BJ²+JI²+IC²+tous les doubles produits

or IJ² n'est pas égal à JI² puisque ce sont des vecteurs,et tu refais la même erreur avec DA...alors ton calcul est faux. Je vais quand même m'en inspirer pour trouver le bon résulat, merci quand même.

[invitedf1fac06]

En plus que dois-je faire des prouduits scalaires comme
BI.IJ ??? je ne peux pas les simplifier...
à l'aideeee !!!

[invite86822278]

[QUOTE=moeeva]or IJ² n'est pas égal à JI² QUOTE]
Ah, SI !!!!!!!

[invite4298f099]

bonjour,

J'ai peur qu'il soit un peu trop tard mais rectifions!
C'est vrai, j'ai confondu I et J dans une de mes lignes mais je voulais surtout te donner l'idée de mon développement. En procédant ainsi, tous les doubles produits s'annulent.
Sinon on a bien IJ²=JI², en effet, en parlant de vecteurs, on peut écrire IJ²=IJ.IJ=(-JI).(-JI)=JI² (et heureusement car IJ² représente la longueur au carré du segment [IJ] qui est la même que celle de [JI]!)
Désolé pour le retard.....

[invite7164e105]

bonnour à tous!

Moi aussi j'ai des problemes avecuce même exercice mais je ne vois pas comment TOUT les doubles carrés s'éliminent rémokub il restes à la fin de la simplification des doubles produits .

[invite7164e105]

Si une autre personne pourrait m'éclairer sur ce sujet cela serait bien merci

[invite7164e105]

Merci à tous vos conseils j'ai réussi à trouver le résultat voulu grance aux théorèmes des médianes!

Bien plus simple qu'il n'y parait