Un sangaku...

[martini_bird]

Salut,

on m'a posé une colle (c'est un problème japonais, dit sangaku) et j'ai beau retourné le problème dans tous les sens je suis sec de chez sec!

Je me permets donc de vous en faire part.

Etant donné un cercle (de rayon quelconque) dans un carré, on construit les quatre quatres cercles (intérieurs) tangents au cercle donné et à deux côtés du carré (voir figure).
Le problème est de trouver une relation entre les rayons des cercles et la longueur du côté du carré...

Si vous avez une idée, n'hésitez pas!

Et bon courage!
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[invite986312212]

je sais pas si ça marche, c'est une idée qui me vient après deux secondes de réflexion: construire un cercle plus petit tangent au petit cercle et aux deux côtés du carré, puis un encore plus petit, etc. tous ces cercles remplissent la diagonale du carré, et ils sont dans le même rapport de réduction: si le grand cercle a un rayon égal à 1, le suivant, disons à , le troisième à .
la somme est et est égale à la demi-diagonale du carré, i.e. à .

[invite986312212]

euh... j'aurais dû prendre 3 secondes: j'ai supposé que le grand cercle était inscrit dans le carré...

[invite8fde209b]

En prenant deux secondes aussi, je me dis que le nombre d'or intervient peut-être ? Il intervient tellement souvent dans des proportionnalités de ce genre après tout donc bon ...enfin après je ne sais pas je dis ca comme ca

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b1e2c2e]

Si tu prends 0 le centre du cercle, je pense que tu peux exprimer la distance de 0 à chaque coin en faisant du Pythagore en fonction du rayon du grand cercle et du rayon du petit cercle associé au coin.
Après, tu peux peut-être espérer, en utilisant des formules sur l'aire des triangles, puis en sommant, tomber sur des relations intéressantes. En utilisant peut-être aussi que la somme des angles en 0 doit faire 360°.

Enfin, je dis ça, je dis rien...

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rvz

[azt]

Bonsoir,

on peut déjà passer pas mal de temps à trouver la relation entre quatre cercles tangents deux à deux.
Une fois que l'on a cette relation, le sangaku de martini bird sera 'un peu plus simple'.


AZT, cela me rappelle l'été 98 allez savoir pourquoi

[martini_bird]

Salut,

rvz, j'ai obtenu bien des relations, mais rien qui ne dépendent pas des coordonnées du centre du cercle violet (ou alors c'est infâme - comprenez: c'est la machine qui l'a calculé, pas moi )...

Pour ce qui est du nombre d'or, je ne pense pas qu'il intervienne ici, mais bon, on ne sait jamais..

Enfin, azt, je ne vois pas comment relier la chose à un problème d'Apollonius... Tu peux développer?

En tout cas, merci pour votre dynamisme!

Cordialement.

[azt]

Mea culpa, je fonce encore une fois tête baissée aujourd'hui. Tu peux me taper Martini bird, je m'explique :
Quand j'avais regardé ces casses têtes cet été là, j'avais fais tous les calculs à la main (horrible).
Ensuite j'avais démontré le théorème de Descartes, qui simplifie grandement les choses dans la plupart des sangakus.

Et donc tout à l'heure, j'ai répondu sans faire attention qu'il ne servait à rien pour le sangaku que tu proposes.

[martini_bird]

Le théorème de Descartes semble en effet ne pas être éloigné, mais je ne vois pas le pont entre les deux...

Et puis j'essaie de trouver une démo "from scratch" (voire strictement géométrique si possible). Mais encore faudrait-il que je sache ce que je veux démontrer....

[inviteb9d21287]

Un sangaku en judo c'est un étranglement, alors faite gaffe les gars ....

[matthias]

Un petite recherche sur le théorème de Casey peut-être

[invite6b1e2c2e]

En y refléchissant, si tu appelles 0 le centre du cercle principal, C_i les coins du carrés, et O_i les centres des cercles secondaires, tu as :
C_i O_i = R_i
O_i O = R+R_i
Donc tu peux calculer l'aire du quadrilatère formé par les 0_i en sommant les aires des quatre triangle que tu as.
Ensuite tu peux calculer l'aire des trapèzes C_i O_i O_j C_j car tu connais la longueur de 3 cotés plus les angles O_i C_i C_j = 45°.
D'où une formule. Pas forcément très belle, je te l'avoue. En fait, je n'ai pas fait les calculs, mais je suis sûr que ça marche.

__
rvz

[yat]

En y refléchissant, si tu appelles 0 le centre du cercle principal, C_i les coins du carrés, et O_i les centres des cercles secondaires, tu as :
C_i O_i = R_i
O_i O = R+R_i
Donc tu peux calculer l'aire du quadrilatère formé par les 0_i en sommant les aires des quatre triangle que tu as.

Tu peux préciser un peu ? Quels triangles ? Et comment tu calcules les aires ?

[invite4298f099]

ouais mais les ont aucune raison d'être des trapèzes, non?!

[invite86822278]

Les ne sont sur aucun cercle... donc on ne connaît pas de formule simple pour décrire la longueur (du moins, je n'en vois pas...)

[yat]

Les ne sont sur aucun cercle... donc on ne connaît pas de formule simple pour décrire la longueur (du moins, je n'en vois pas...)

[invite86822278]

Autant pour moi.......

[invite6b1e2c2e]

ouais mais les ont aucune raison d'être des trapèzes, non?!

Effectivement, je me suis emporté, je voulais dire quadrilatère. Mais je maintiens qu'on peut calculer son aire.

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rvz

[invite4298f099]

tu penses qu'on peut calculer l'aire de chacun ou le total des aires de ces quadrilatères?

[invite4298f099]

ah oui, sinon, j'ai à peu près compris ta démarche mais je me demande encore comment tu démarres, c'est-à-dire comment tu calcules l'aires des 4 triangles de départ?

[invite6b1e2c2e]

Justement, ça je sais pas trop. Il doit y avoir moyen de le faire en détaillant précisément les calculs des longueurs Oi Oj, mais j'avoue, ça fait plutot peur !
Sinon, c'est peut être plus facile en regardant les angles, mais là j'ai moins d'idées.
__
rvz

[yat]

Bon, quand je ne trouve pas de jolie petite route qui mène à la solution, j'essaye de regarder comment couper à travers champs...

A chaque coin du carré, on peut déterminer la distance entre le centre du cercle central et un des cotés en fonction de sa distance a l'autre coté. Si X et Y sont les coordonnées du centre du cecle central, et C le coté du carré, on peut donc exprimer :
X en fonction de Y en considérant le coin haut gauche, et C-X en fonction de Y en considérant le coin haut droite.
On peut donc en tirer une expression de C en fonction de Y. Pour visualiser, ça correspond à prendre un coin de mur, coller une pièce de monnaie dans le coin, la deuxième contre le bord, et de coller la dernière (notre cercle central) tangent aux deux premières. Quand on écarte les deux pièces qui sont contre le mur, la troisième se rapproche du mur, et inversement. Notre expression de C en fonction de Y sera donc décroissante sur son ensemble de définition.
Si on regarde maintenant la pièce en bas à gauche, c'est le contraire : si Y augmente, C augmente aussi. On pourra le mettre en évidence en considérant le X en fonction de Y qu'on a obtenu dans le premier coin, et de déterminer en fonction de ce X la valeur de C-Y par la même méthode. On a donc ici C-Y en fonction de Y, soit une deuxième expression de C en fonction de Y, qui elle est croissante.
Avec ces deux expressions, il ne reste plus qu'à trouver la valeur de Y pour laquelle la différence s'annule (je pense que ces deux expression seront des polynomes de degré 2), et de calculer le C qui correspond avec une des deux expressions.

Ca va être long, ça va être rébarbatif, et ça va être facile de se planter, mais ce chemin arrive à la solution. J'espère qu'il y a plus sexy, comme méthode.

[yat]

Effectivement, je me suis emporté, je voulais dire quadrilatère. Mais je maintiens qu'on peut calculer son aire.

Si on a son aire, on a gagné, pas la peine d'aller plus loin.

[yat]

Avec ces deux expressions, il ne reste plus qu'à trouver la valeur de Y pour laquelle la différence s'annule (je pense que ces deux expression seront des polynomes de degré 2)

A la réflexion, ces expressions devraient faire intervenir des racines. Bon, je ne sais pas trop comment ça va se passer à ce moment là, mais ça devrait quand même être faisable... je prefère chercher une solution plus cool que de m'aventurer tout de suite dans cette méthode bourrin pour voir ce qu'il en est...

[invite6b1e2c2e]

Si on a son aire, on a gagné, pas la peine d'aller plus loin.

Dans chaque gros triangle O Oi Oj, tu as les longueurs de tous les cotés (avec un peu de trigo pas belle certes), donc tu peux calculer l'aire de chacun.

Je t'accorde que c'est affreux...

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rvz

[matthias]

Vous avez regardé du côté du théorème de Casey comme je l'ai indiqué ?
En tout cas si vous y arrivez avec votre méthode, bravo, parce que ça devient vite ignoble ces machins là. Moi je n'ai pas le courage.

[invite6b1e2c2e]

Ca m'a l'air tout aussi affreux, mais j'avoue que je n'ai pas trop envie de me plonger dans les calculs. Une sorte de flemme immense s'empare soudainement de moi au quinzième cosinus....

__
rvz

[leg]

bonsoir.
il faut peut être tracer un carré de 5 de coté dont la diagonnale = racine carrée de 50/2 qui est la distance du côté du petit cercle A, en haut a gauche et l'angle de ce carré
la diagonnale étant tangeante au côté des 2 cercles A et le cercle E violet

[leg]

bonjour
si on regarde les fractions de Farey et les cercles de Ford, il pourrait y avoir la relation suivante "sous réserve"

le cercle principale à un diametre de 1/q²,en dessous de chaque cercle, sous l'axe des réel on inscrit un nombre rationnel 1/1pour le grand cercle, puis 1/2 pour le cercle suivant dans l'angle en bas à droite, 4/7 pour le petit cercle angle en haut a gauche , 3/5 pour le cercle en bas a gauche et enfin 2/3 pour le cercle du haut a droite.

nous obtenons une suite de Farey :
1/1 et 1/2, 4/7 et 3/5 , 2/3
ces 5 cercles sont tangents au point a/c et b/d si (ad) et (bc) sont des nombres entiers consécutifs!

1/1 et 1/2 = 1*1 et 1*2 ,puis 1/2 et4/7 = 1*7 et 2*4;
4/7 et 3/5 = 4*5 et 3*7 et pour finir 3/5 et 2/3 = 9 et 10.

car ces 5 cercles inscrit dans ce carré ont un point commun les 4 cercles < au cercle principale violet et tangent a ce cercle sont "tangent" au 4 angles du carré,
donc en dépliant ce carré pour former l'axe des réels sur le quel je dessine ces 5 cercles ,
on obtient 3 cercles qui sont tangent entre-eux.
1/1,1/2,2/3 = 1 et 2 , 3 et 4
1/2,2/3,3/5 = 3 et 4 , 9 et10
1/2,3/5,4/7 = 5 et 6 , 20 et 21

maintenant ces cercles devraient avoir un diametre de 1/q² pour pouvoir être tangent, car il ne peuvent pas se superposer .. a vous de voir
A+

[yat]

Dans chaque gros triangle O Oi Oj, tu as les longueurs de tous les cotés (avec un peu de trigo pas belle certes), donc tu peux calculer l'aire de chacun.

Je t'accorde que c'est affreux...

Si tu as Oi Oj, c'est fini : un pythagore, tu ajoutes les rayons des deux cercles, tu as le coté du carré. Pourquoi calculer l'aire des quadrilatères ?