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x/1+x² < Arctg x < x pour tout x positif



  1. #1
    Bleyblue

    x/1+x² < Arctg x < x pour tout x positif


    ------

    Bonjour,

    Voila j'essaie de d&#233;montrer (probl&#232;me en provenance de mon livre d'Analyse une fois de plus) que :



    Mais j'utilise un type de raisonnement dont je n'ai pas l'habitude, j'aimerais donc vous demander si il est valable

    Alors :

    1) Arctg x < x me semble triviale parce que les fonctions f(x) = Arctg x et g(x) = x sont toutes deux strictement croissantes sur donc je n'ai qu'a montrer que f'(x) < g'(x) ce qui est triviale
    (ais-je bien raison ?)

    2) Pour la deuxi&#232;me in&#233;galit&#233; c'est moins &#233;vident car

    n'est pas strictement monotone sur

    comme
    on d&#233;termine facilement un maximum pour h(x) en (1,1/2)

    Comme f(1) = eh bien h(x) < &#224; f(x) sur car h d&#233;croit et g croit

    Les fonctions g et h sont toutes deux croissantes sur donc je n'ai qu'a montrer que h' < f' ce qui est triviale

    C'est bon mon raisonnement ou il y a un hic quelque part ?

    merci

    -----

  2. #2
    martini_bird

    Re : x/1+x² < Arctg x < x pour tout x positif

    Salut,

    1) tu peux rendre rigoureux ton raisonnement en pr&#233;cisant que f(0)=g(0) et en faisant usage de l'in&#233;galit&#233; des accroissements finis.

    Ceci &#233;tant pour les deux in&#233;galit&#233;s, je ne saurais que trop te recommander la plus simple des m&#233;thodes: faire une &#233;tude des fonctions et .

    Cordialement.

    PS: j'ai commenc&#233; &#224; mettre en forme ta production.
    Dernière modification par martini_bird ; 28/01/2006 à 15h22.

  3. #3
    matthias

    Re : x/1+x² < Arctg x < x pour tout x positif

    D'accord avec martini_bird, et je ne vois pas o&#249; est cens&#233;e intervenir la stricte croissance des fonctions x et Arctg(x).

  4. #4
    Bleyblue

    Re : x/1+x² < Arctg x < x pour tout x positif

    Oui, j'ai été chercher trop loin comme d'habitude

    Je vais bêtement faire une étude de fonction ...

    Citation Envoyé par martini_bird
    PS: j'ai commencé à mettre en forme ta production
    ok

    merci

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Nox

    Re : x/1+x² < Arctg x < x pour tout x positif

    Bonsoir,
    Bleyblue, si tu connais le théorème des accroissements finis ta rpéonse est plutôt simple à démontrer.
    En effet si tu l'appliques a la fonction arctan sur le segment [0;x] ca marche tout seul !. Tu vas trouver tel que Il suffit ensuite d'encadrer c : et tu vas en déduire ton inégalité.
    Cordialement,
    Nox

    PS désolé je débute sutr latex donc il est possible qu'il y ait des pb
    Nox, ancien contributeur des forums de maths et de chimie.

  7. #6
    Bleyblue

    Re : x/1+x² < Arctg x < x pour tout x positif

    Je n'ai pas pensé à appliquer le théorème des accroissement finis mais j'essaie tout de suite

    merci

  8. #7
    Bleyblue

    Re : x/1+x² < Arctg x < x pour tout x positif

    Ok je comprend.

    Il y a juste un petit problème : Qu'est ce qui nous permet d'encadrer c de cette manière : x < c < 0 ?

    Je ne vois pas pourquoi (mais si je l'admet le reste vient tout seule)

    merci

  9. #8
    matthias

    Re : x/1+x² < Arctg x < x pour tout x positif

    Tu devrais revoir le théorème des accroissements finis. C'est exactement ce qu'il te dit !
    Si f est continue sur [a;b], dérivable sur ]a;b[ alors il existe c dans ]a;b[ tel que f(b) - f(a) = (b-a)f'(c)

  10. #9
    Bleyblue

    Re : x/1+x² < Arctg x < x pour tout x positif

    Ah oui, mais j'avais l'énoncé du théorème devant le yeux lorsque j'ai attaqué l'exercice.

    Je ne maîtrise pas encore ce théorème malgré que ça fait longtemps que je le connais (comment aurais-je pu deviner que le théroème était utile ici ?)
    Il va faloir que je m'y mette ...

    merci

  11. #10
    matthias

    Re : x/1+x² < Arctg x < x pour tout x positif

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Je ne maîtrise pas encore ce théorème malgré que ça fait longtemps que je le connais
    Après le théorème des accroissements finis, des petites révisons de grammaire s'imposent

  12. #11
    Bleyblue

    Re : x/1+x² < Arctg x < x pour tout x positif

    Ca va, je ne fais pas souvent attention lorsque j'écris (que ce soit une démonstration ou une phrase)

  13. #12
    Bleyblue

    Re : x/1+x² < Arctg x < x pour tout x positif

    Tiens et si j'essaie de démontrer que :



    Pour x < 0 ça l'inégalité est évidente donc je peux supposer x > 0

    Supposons :



    je peux élever les deux membre au carré :



    ce qui n'est pas possible.

    C'est bon comme démonstration ?

    merci

  14. #13
    martini_bird

    Re : x/1+x² < Arctg x < x pour tout x positif

    Salut,

    pas de souci pour moi, sinon que tu n'étais pas obligé de changer le sens de l'inégalité. Tu serais arriver à 1>0 qui est vrai pour tout x.

    Cordialement.

  15. #14
    Bleyblue

    Re : x/1+x² < Arctg x < x pour tout x positif

    Ok merci !

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