x/1+x² < Arctg x < x pour tout x positif

[Bleyblue]

Bonjour,

Voila j'essaie de d&#233;montrer (probl&#232;me en provenance de mon livre d'Analyse une fois de plus) que :



Mais j'utilise un type de raisonnement dont je n'ai pas l'habitude, j'aimerais donc vous demander si il est valable

Alors :

1) Arctg x < x me semble triviale parce que les fonctions f(x) = Arctg x et g(x) = x sont toutes deux strictement croissantes sur donc je n'ai qu'a montrer que f'(x) < g'(x) ce qui est triviale
(ais-je bien raison ?)

2) Pour la deuxi&#232;me in&#233;galit&#233; c'est moins &#233;vident car

n'est pas strictement monotone sur

comme
on d&#233;termine facilement un maximum pour h(x) en (1,1/2)

Comme f(1) = eh bien h(x) < &#224; f(x) sur car h d&#233;croit et g croit

Les fonctions g et h sont toutes deux croissantes sur donc je n'ai qu'a montrer que h' < f' ce qui est triviale

C'est bon mon raisonnement ou il y a un hic quelque part ?

merci
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[martini_bird]

Salut,

1) tu peux rendre rigoureux ton raisonnement en pr&#233;cisant que f(0)=g(0) et en faisant usage de l'in&#233;galit&#233; des accroissements finis.

Ceci &#233;tant pour les deux in&#233;galit&#233;s, je ne saurais que trop te recommander la plus simple des m&#233;thodes: faire une &#233;tude des fonctions et .

Cordialement.

PS: j'ai commenc&#233; &#224; mettre en forme ta production.

[matthias]

D'accord avec martini_bird, et je ne vois pas o&#249; est cens&#233;e intervenir la stricte croissance des fonctions x et Arctg(x).

[Bleyblue]

Oui, j'ai été chercher trop loin comme d'habitude

Je vais bêtement faire une étude de fonction ...

PS: j'ai commencé à mettre en forme ta production

ok

merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[Nox]

Bonsoir,
Bleyblue, si tu connais le théorème des accroissements finis ta rpéonse est plutôt simple à démontrer.
En effet si tu l'appliques a la fonction arctan sur le segment [0;x] ca marche tout seul !. Tu vas trouver tel que Il suffit ensuite d'encadrer c : et tu vas en déduire ton inégalité.
Cordialement,
Nox

PS désolé je débute sutr latex donc il est possible qu'il y ait des pb

[Bleyblue]

Je n'ai pas pensé à appliquer le théorème des accroissement finis mais j'essaie tout de suite

merci

[Bleyblue]

Ok je comprend.

Il y a juste un petit problème : Qu'est ce qui nous permet d'encadrer c de cette manière : x < c < 0 ?

Je ne vois pas pourquoi (mais si je l'admet le reste vient tout seule)

merci

[matthias]

Tu devrais revoir le théorème des accroissements finis. C'est exactement ce qu'il te dit !
Si f est continue sur [a;b], dérivable sur ]a;b[ alors il existe c dans ]a;b[ tel que f(b) - f(a) = (b-a)f'(c)

[Bleyblue]

Ah oui, mais j'avais l'énoncé du théorème devant le yeux lorsque j'ai attaqué l'exercice.

Je ne maîtrise pas encore ce théorème malgré que ça fait longtemps que je le connais (comment aurais-je pu deviner que le théroème était utile ici ?)
Il va faloir que je m'y mette ...

merci

[matthias]

Je ne maîtrise pas encore ce théorème malgré que ça fait longtemps que je le connais

Après le théorème des accroissements finis, des petites révisons de grammaire s'imposent

[Bleyblue]

Ca va, je ne fais pas souvent attention lorsque j'écris (que ce soit une démonstration ou une phrase)

[Bleyblue]

Tiens et si j'essaie de démontrer que :



Pour x < 0 ça l'inégalité est évidente donc je peux supposer x > 0

Supposons :



je peux élever les deux membre au carré :



ce qui n'est pas possible.

C'est bon comme démonstration ?

merci

[martini_bird]

Salut,

pas de souci pour moi, sinon que tu n'étais pas obligé de changer le sens de l'inégalité. Tu serais arriver à 1>0 qui est vrai pour tout x.

Cordialement.

[Bleyblue]

Ok merci !