complexe positif

[invite87a1ce41]

Bonjour

j'ai vu sur un site que le nombre imaginaire pur z = 2i n'est pas un nombre strictement positif. et j'aimerai juste comprendre pourquoi

Merci
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[GuYem]

Bonjour.
Sur le corps C des complexes on ne peut pas définir, du moins de manière "naturelle" de relation d'ordre du genre "inférieur ou égal".
Du coup dire d'un nombre complexe qu'il est plus grand qu'un autre ça ne veut rien dire, tout comme dire qu'il est positif.

Tu as bien envie de dire que 2i est positif, parce que le 2 est positif.
Mais alors que diras-tu de -1+2i? Positif ou négatif?
La réponse est aucun des deux.

J'espère avoir été clair.

[invitea77054e9]

Sur le corps des nombres complexes, on ne peut pas définir de relation d'ordre au sens de celle usuellement utilisée sur le corps des réels.

Tu dois sans doute savoir que les nombres complexes "représentent" les points du plan lR² .
Sur la droite réelle, il est aisé de voir qu'un nombre est plus grand qu'un autre, puisqu'il suffit de voir lequel est "situé le plus à droite".
Mais dans le plan lR², comment affirmer qu'un point est plus grand qu'un autre? On pourrait par exemple ordonner les élèments du plan en regardant leur module, ms deux point peuvent avoir même module sans être égaux (il suffit qu'ils soient situés sur le cercle de même rayon!) . Même avec de l'imagination, je ne vois pas de relation qui pourrait ordonner les élèments de lR², donc de C.
Si tu as des idées, fait le moi savoir !

[esboy]

Sur le corps des nombres complexes, on ne peut pas définir de relation d'ordre au sens de celle usuellement utilisée sur le corps des réels.



Même avec de l'imagination, je ne vois pas de relation qui pourrait ordonner les élèments de lR², donc de C.
Si tu as des idées, fait le moi savoir !

je fais marcher mon imagination
L'ordre lexicographique permet très simplement d'étendre la relation d'ordre de R à R² ou R^n.
Le problème, c'est qe cette relation d'ordre n'est plus compatible avec la multiplication, donc ce n'est vraiment pas pratique à utiliser.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea77054e9]

Pourrais-tu m'indiquer ce que tu entends par ordre lexicographique Esboy s'il te plait? ça m'intéresse .

[invitea48de938]

L'ordre lexicographique c'est (x,y) > (a,b) ssi x>a ou (x=a et y>b) si je me rapelle bien : )

[matthias]

On peut faire la même chose avec le couple (module; argument) pour avoir un ordre "en spirale", tout complexe non nul devenant strictement supérieur à 0.

[inviteb303666e]

Bonjour !

je fais marcher mon imagination
L'ordre lexicographique permet très simplement d'étendre la relation d'ordre de R à R² ou R^n.
Le problème, c'est qe cette relation d'ordre n'est plus compatible avec la multiplication, donc ce n'est vraiment pas pratique à utiliser.

Je pense que le probleme évoqué est bel et bien une question d'intuition. Il existe de nombreuse relations d'ordre sur les ensembles, reste à savoir si elles sont utiles et / ou intuitives.
Voila, les notions de maths de prépa suffisent à definir parfaitement les relations d'ordre, si jamais ca interesse quelqu'un ...

A bientot.

[matthias]

Il existe de nombreuse relations d'ordre sur les ensembles, reste à savoir si elles sont utiles et / ou intuitives.

C'est toujours drôle, c'est déjà ça

Voila, les notions de maths de prépa suffisent à definir parfaitement les relations d'ordre, si jamais ca interesse quelqu'un ...

Et ce sont des notions simples accessibles à tous en plus.

[esboy]

L'ordre lexicographique c'est (x,y) > (a,b) ssi x>a ou (x=a et y>b) si je me rapelle bien : )

précisément.
on vérifie sans trop de problème que cette relation vérifie bien les propriétés d'une relation d'ordre.

en fait, c'est tout simplement "l'ordre alphabétique".

[C.B.]

En fait, on peut montrer que sur C il n'existe aucune relation d'ordre compatible avec la structure de corps.
Par compatible avec la structure de corps on veut dire que pour tout x,y et z:

Si x est inférieur ou égal à y alors x+z est inférieur ou égal à y+z (compatibilité avec l'addition)

Si x est inférieur ou égal à y et que z est positif (c'est à dire suppérieur ou égal à zéro) alors xz est inférieur ou égal à yz.

En fait, une condition nécessaire suffisante pour qu'un corps est un ordre compatible avec la structure de corps est que -1 ne soit pas somme de carrés (on voit immédiatement que c'est une condition nécessaire, car la compatibilité avec les opérations de corps impliquent qu'une somme de carrée est positive, que 1 est positif et donc que -1 n'est pas positif).

[Gwyddon]

malheureusement, ce n'est pas un ordre total (ie si je prend (a,b) et (x,y), je n'ai pas toujours soit (a,b) < (x,y) soit (x,y) < (a,b) ) et comme l'a dit esboy ce n'est plus compatible avec la multiplication : ce n'est parce que l'on a x < y et a >0 que l'on a forcément ax < ay

EDIT : on peut quand même considérer des ordres qui ne soient pas totaux (exemple les parties d'un ensemble muni de l'ordre de l'inclusion)

[matthias]

Petit rappel: même sur IR, < n'est pas une relation d'ordre, puisque non antisymétrique. Par contre est bien une relation d'ordre.

[esboy]

malheureusement, ce n'est pas un ordre total (ie si je prend (a,b) et (x,y), je n'ai pas toujours soit (a,b) < (x,y) soit (x,y) < (a,b) )

ben si l'ordre est total, il me semble... (à condition, comme il a été dit, de remplacer les < par des =<)

[matthias]

Et (x;y) (a;b) <=> (x < a) ou ((x = a) et (y b)) est bien une relation d'ordre total.
Mais toujours pas compatible évidemment.

[Gwyddon]

bon pardon je n'ai pas tout relu...

1 Quand j'utilise <, c'est pour "inférieur ou égal" bien entendu (j'ai la flemme de trouver le symbole sur mon clavier )

2 Je croyais que la définition donnée dans le post de l'ordre lexico se limitait au premier terme du couple, désolé ....