Bernoulli et ses polynômes

[Gwyddon]

Bonjour à tous,

Je me trouve face à un dilemme (si c'est bien le terme exact) ; en effet, notre prof de maths nous a filé un petit problème pour calculer les zeta(2p), et qui fait appel aux polynômes de Bernoulli ; il les définit comme étant la suite de polynômes vérifiant B_0 = 1 , et

On montre ensuite que ces conditions définissent une unique suite de polynômes vérifiant pour



Or, dans le sujet du concours national DEUG 2003 maths II spé physique, la définition est différente :
est devenue la condition numéro 2 !!

Or l'on montre aussi que ces conditions définissent univoquement la suite de polynome, avec la même condition intégrale...

Je vérifie sur le Gourdon d'Analyse : ils prennent la définition de mon prof. Je vérifie sur le site de l'Université de Rouen ainsi que dans la FAQ du forum sci.maths.fr : ils prennent la seconde définition, celle du concours national DEUG.

Alors, laquelle des deux est LA suite de polynômes de Bernoulli ??


Tout ça n'est pas très clair...

Merci d'avance
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[invite8f53295a]

En général on définit les polynômes de Bernoulli de la façon suivante. La fonction qui suit est développable en série entière et :

Un calcul très simple sur ce développement redonne la définition de ton prof.
Remarque que l'autre définition revient à ne pas mettre le n! dans la série entière. Je ne sais pas s'il y a une vraie définition mais c'est celle-ci qu'on recontre le plus souvent. Des fois les gens ne sont pas toujours d'accord sur leur signe... En tous cas c'est la convention choisie par Colmez :
http://www.math.polytechnique.fr/xups/vol02.html

[Gwyddon]

bon ok
apparemment la deuxième définition c'est du pseudo-bernoulli

[martini_bird]

Salut,

pour confirmation, proposition (28).

[A voir en vidéo sur Futura]