Égalisation d'une suite à une autre

[invite92876ef2]

Bonjour,

Soient (an)n et (bn)n deux suites positives strictement décroissantes.

Elles sont reliés par :

a1+...+an = b1+...+bn
a1...an = b1...bn

Peut-être avoir an=bn pour tout n (je n'ai pas de contre-exemple et je me méfie de la récurrence...) ?
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[Seirios]

Bonjour,

Si pour tout , alors on déduit très facilement par récurrence que pour tout .

[invite92876ef2]

Mon énoncé est mal posé. J'y reviendrai !

[invite92876ef2]

En fait ici attention, n est fixé. La question est donc :

Peut-on avoir ai=bi pour tout i de 1 à n (je n'ai pas de contre-exemple et je me méfie de la récurrence...) ?
Si non, sous quelle(s) condition(s) a-t-on ces n égalités ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

De façon intuitive :
a1=b1
a1+a2=b1+b2 d'où a2=b2
etc.
Il suffit d'écrire la récurrence (limitée) et c'est bon !

Ou écrire deux relations successives et soustraire les égalités :
a1+a2+..+a_p-1=b1+b2+..+b_p-1
a1+a2+..+a_p-1+ap=b1+b2+..+b_p-1+bp
par soustraction ap=bp pour 1<=p<=n

Cordialement.

[invite92876ef2]

Pourtant

2*10=4*5

[gg0]

et alors ?

comme tu n'as pas 2+10=4+5, c'est sans intérêt.

Il faudrait peut-être commencer à penser par toi-même et regarder ce qui se passe ....

[invite92876ef2]

Non j'ai du mal expliquer mon problème.

Une récurrence n'a pas de sens ! n est fixé.

J'ai parlé de "suite" mais c'est faux. C'est une séquence dirais-je de nombre réels strictement positifs
(a1,...,an) telle que a1>a2>...>an, idem pour les bi, et tels que :

a1+...+an=idem pour b
a1...an=b1...bn

Ton raisonnement appliqué à ce problème ainsi posé me paraît donc faux !

Concernant ta remarque pertinente sur le fait que je devais penser par moi-même, au stade où j'en suis c'est déjà largement fait mais merci de t'en soucier ! Mais je pense que les gens s'en fichent complètement. Il s'agissait juste de bien poser un problème.

A bientôt !

[Médiat]

Bonjour,

[breukin]

Dans ce cas, si est un nombre donné, et si on dispose de nombres , n'importe quelle permutation permet aux nombres de vérifier les propriétés :

et


genre : et

[invite92876ef2]

Merci de vos réponse !
Médiat je n'ai rien compris.
Breukin je suis d'accord mais cela semble être une condition suffisante mais pas nécessaire...

[invite92876ef2]

Ah bien vu !
Dans ce cas quelles seraient les conditions pour que ce soit effectivement vrai ? Y a-t-il seulement la permutation ?

[Médiat]

Il me semblait que les permutations étaient interdites : "a1>a2>...>an, idem pour les bi"

[breukin]

Ben non, puisque Mediat a trouvé un exemple de 2 triplets totalement différents.

En fait si on se donne , et , leurs somme et produit et , et un nombre , on peut résoudre l'équation du second degré dont les racines et ont pour somme et produit et .

Et effectivement, les permutations sont interdites.

[invite92876ef2]

Ah oui en ce sens les permutations sont interdites.
Je crois que le problème est résolu par le contre-exemple de Médiat.

[inviteea028771]

On peut se poser la question aussi si on considère deux suites de n nombres entiers distincts. D'ailleurs au début j'avais cru qu'il s'agissait de nombres entiers.


Pour les nombres réels, en prenant n nombres réels positifs et en notant s leur somme et p leur produit, il me semble que l'on peut voir les choses de cette façon (géométrique) :

Si p < (s/n)^n, alors

défini un "quartier" de la surface de la boule de rayon s en norme 1

est une fonction continue qui vaut -p sur le bord de la surface (toutes les coordonnées à 0 sauf une), (s/n)^n-p > 0

donc la fonction s'annule sur la surface


Et à vue de nez, l'espace des solutions est un truc de dimension n-2

[invite92876ef2]

Si je remplace les égalités par des inégalités, est-ce qu'on ne pourrait pas non plus avoir des inégalités coef par coef dans un cas bien précis ?
Ce genre de question n'a pas été répondu par des algébristes par hasard ?!

À bientôt !

[invite92876ef2]

Pourquoi ça vaut 0 sur le bord de la surface ?
Cela peut-il aider à résoudre le problème avec des égalités ?