Inversion dérivation intégration

[coussin]

Bonjour

Un doute m'habite Et je m'excuse d'avance car cela doit déjà avoir été traité… Sous quels conditions a-t-on :



Merci d'avance
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[inviteea028771]

La réécriture sous forme de limite et l'utilisation du théorème de convergence dominée donne les hypothèses suivantes :

1) Pour presque tout x, la df/dy existe pour tout y
2) Il existe une fonction intégrable h(x) telle que |f'(x,y)| < |h(x)|

[coussin]

Merci. Ces deux hypothèses me semblent OK pourtant je ne trouve pas l'égalité... Je continue à y réfléchir... Je detaillerais si je reste bloqué.

[coussin]

Bon, je détaille : je ne vois pas l'erreur que je fais…

Soit l'intégrale .
La fonction est telle qu'elle tend vers 0 assez vite à et tend vers 0 à 0 assez vite pour compenser la divergence du coth(). Cette intégrale est donc définie partout.

Je vais calculer cette intégrale via le théorème des résidus. Je considère donc sur un contour habituel ( celui-là par exemple : http://i.stack.imgur.com/XaG3a.png ) qui contient l'axe réel, une indentation autour de et on ferme le contour par le haut.

Je suppose que est analytique partout. La fonction a une série de pôles d'ordre 1 à avec n entier. Les résidus de cette fonction à ces pôles sont tous égaux à . Je suppose aussi que l'intégrale sur le demi-cercle supérieur vaut zéro. J'applique le théorème des résidus et j'obtiens (l'indentation autour de l'origine compte pour seulement ) :

.

Si je dérive par rapport à ce résultat, j'obtiens :

Bien. Ce résultat est un peu le membre de gauche de l'égalité de mon message #1.

J'applique maintenant la dérivée par rapport à avant d'appliquer le théorème des résidus. J'ai :

Je vais appliquer le théorème des résidus en utilisant le même contour qu'avant. La fonction a un pôle d'ordre 1 en et des pôles d'ordre 2 en avec n entier différent de 0. Les résidus de cette fonction à ces pôles sont tous égaux à . J'applique le théorème des résidus (heureusement que ce n'est qu'un pôle d'ordre 1 à l'origine puisque on ne tourne pas complètement autour) et obtiens :

Voilà mon problème : il me manque le tout dernier terme en ...

Est-ce que je fais une erreur en appliquant le théorème des résidus la deuxième fois ? Avec les pôles d'ordre 2 ?

Merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[acx01b]

je dis ça au pif mais si tu supposes que f(z) tend vers 0 en +/-infini et en i infini
et analytique sur le demi plan supérieur
ça ne suffit pas pour imposer que f(z) est constante et même égale à 0 donc que f'(z) = 0 ?

[acx01b]

non c'est n'importe quoi désolé oublie

tu as essayé avec des exemples ?

[coussin]

J'ai des exemples numériques et le terme avec f'() est bien là.
C'est mon raisonnement avec le csch() qui est faux, je sais pas pourquoi. Peut-être que j'ai vraiment pas le droit de faire rentrer ma dérivation dans l'intégrale... Les conditions données dans le message #2 me semblent vérifiées mais peut-être pas après tout...

[inviteea028771]

Peut-être que j'ai vraiment pas le droit de faire rentrer ma dérivation dans l'intégrale... Les conditions données dans le message #2 me semblent vérifiées mais peut-être pas après tout...

Il me semble que tu ne peux pas majorer ta fonction (coth(x/T) f(x))' par une fonction h(x) indépendante de T.

Ici T va pouvoir compresser la fonction autour de 0, ce qui va empêcher une majoration uniforme

[coussin]

Alors, tu dois avoir raison. Je n'avais pas compris que je devais pouvoir majorer pour tout T.
C'est vrai que quand T tend vers 0, la fonction x*csch(x/T)^2*f(x) devient très piquée vers 0 (bien qu'elle vaille 0 en 0).
Par contre, pour un T donné je peux toujours trouver un majorant.

Selon toi, c'est la raison pour laquelle je ne peux pas intervertir dérivation et intégration ?

Merci d'avance.

[coussin]

Petite mise à jour

En fait, il y a une erreur dans mon message #4. J'ai mentionné que la csch^2 avait des pôles d'ordre 2. Pour cette raison, le résidu que j'ai écrit est faux. Le correct résidu fait intervenir la dérivée de f en plus et je retrouve alors ma première expression.
Tout ça pour dire que, finalement, je peux intervertir intégration et dérivation

Ah... Ça fait du bien quand tout est en ordre dans le monde merveilleux des fonctions méromorphes