double tangente d'une fonction dérivée

[invite4bf6d29c]

Salut !

Voilà j'ai un exo où il ya une courbe C d'équation

y=-x(puissance4) + 2x² +x

Il faut démonter que la tangente à C au point d'absicce -1 est aussi tangente à C en un autre point à présicer.

Est-ce que quelqu'un pourra m'aider svp

je pense qu'il faut dériver f(x) qui est égal à y.

Ca ferait 4x(puissance3) + 4x + 1 ?

Donc je vous demande de m'aider. Merci d'avance .
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[nissart7831]

Bonjour,

la dérivée est plutôt (attention au signe).
Ben oui, ça peut t'aider à calculer l'équation ce cette tangente au point d'abscisse x=-1.

Pour trouver ton autre point, ça peut se trouver vite de manière intuitive ou par le calcul. Et par le calcul, il suffit que tu reviennes à la définition de l'équation d'une tangente en un point d'abscisse a. Et comme tu connais l'équation de la double tangente, tu peux trouver les points d'abscisse a qui ont cette tangente.

[invite4bf6d29c]

oui !
merci pour ces rectifications

Il faut utiliser la formule f'(a)(x-a)+f(a) ?
avec a = -1 ?

[invite4298f099]

On a donc la tangente au point d'abcisse -1 a pour équation ce qui donne .
Ensuite, tu considère la fonction . Cette fonction représente la diffèrence entre la courbe et sa tangente donc elle s'annule exactement aux points où la courbe rencontre sa tangente. Ca te donne alors tous les candidats pour l'abcisse du deuxième point de tangence! Attention, il se pourrait que et que la courbe et la tangente soient simplement sécante, il faut donc vérifier! Mais de toute façon, ici, il n'y a qu'un autre point où h s'annule et c'est un point de tangence comme le demande l'énoncé! Je te laisse la rédaction...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4298f099]

oui ,désolé!!!

[nissart7831]

On a donc la tangente au point d'abcisse -1 a pour équation ce qui donne .
Ensuite, tu considère la fonction . Cette fonction représente la diffèrence entre la courbe et sa tangente donc elle s'annule exactement aux points où la courbe rencontre sa tangente. Ca te donne alors tous les candidats pour l'abcisse du deuxième point de tangence! Attention, il se pourrait que et que la courbe et la tangente soient simplement sécante, il faut donc vérifier! Mais de toute façon, ici, il n'y a qu'un autre point où h s'annule et c'est un point de tangence comme le demande l'énoncé! Je te laisse la rédaction...

OK.

Il y a une autre méthode, à peine plus calculatoire, qui permet de trouver directement l'autre point qui admet la même tangente. En faisant comme j'ai suggéré plus haut.

[invite4bf6d29c]

Tu voudrais procéder par équivalence, nissart 7831, en faisant f'(-1)(x+1)+f(-1) = -4x³ + 4x + 1 ?

[invite4bf6d29c]

help !

[nissart7831]

Tu voudrais procéder par équivalence, nissart 7831, en faisant f'(-1)(x+1)+f(-1) = -4x³ + 4x + 1 ?

Non, parce que ça, ça revient à faire l'intersection de la tangente avec la courbe de f, comme t'a suggéré rémokub. C'est juste, mais une fois que tu as trouvé le point d'intersection, il faut encore que tu vérifies que la tangente en ce point est la même que l'autre.

Moi, je propose juste une méthode plus directe. Je pars du fait que la tangente en l'autre point a la même équation que la tangente en x=-1. Je note a l'abscisse de cet autre point.
Ce que j'ai dit précédemment se traduit par :
(x-a)f'(a) + f(a) = (x+1)f'(-1) + f(-1).

Tu connais l'expression de f et de f', tu peux donc tout calculer dans cette équation. Tu tombes alors sur une équation en a qu'il suffit de résoudre. Et tu trouves les valeurs de a solutions directement.
Si tu ne trouves que la solution -1, c'est qu'il n'y a pas d'autre point qui a la même tangente, sinon tu trouves l'autre point qui a la même tangente.
J'espère que tu as compris l'idée. A toi de bien le rédiger.