Promenade aléatoire sur une grille - temps de retour

[invite92876ef2]

Bonjour,

Je me demandais si le problème suivant a déjà été résolu :

Il s'agit d'un point qui se promène sur une grille (carrée, finie). Ses coordonnées sont discrètes (à valeurs dans u. sous-ensemble fini de Z2). En un point, la probabilité d'aller en haut, en bas, à gauche ou à droite est différente et dépend du point où l'on se situe.

Quel est le temps de retour en n'importe quel point de la grille ?

Si ce problème est trop compliqué, pourriez-vous au moins m'orienter vers un livre/cours/article ajoutant des hypothèses ?

Merci !
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[acx01b]

je pense que si la grille est infinie et les 4 directions équiprobables alors l'espérance du temps de retour au point de départ est infinie

si le point de départ O est en (0,0) et X la positon actuelle est en (a,b) avec a>0,b>0, alors les bonnes directions sont (-1,0) et (0,-1) équiprobables avec les mauvaises directions (1,0) et (0,1)
donc l'espérance de la distance à O après un mouvement reste la même

par contre si X est en (0,b) alors seul (0,-1) est un bon mouvement, les 3 autres augmentent la distance de 1

donc à chaque fois que X passe par une position (0,b) ou (0,a) l'espérance de la distance à O augmente.
donc la distance à O est une marche aléatoire biaisée qui diverge

[invite92876ef2]

Bonjour,
Merci de ta réponse, mais je ne comprends pas tout.
Ça ne me dit rien sur le temps de premier retour... sauf si ce que vous dites est juste...
En l'occurrence si la grille est infini on sait bien que tout point est récurrent (marche sur Z2)...

[invite179e6258]

c'eest un problème bien connu, tu trouveras quantité de réponses si tu cherches sur internet avec ces mots clés: discrete lattice random walk

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite92876ef2]

Super !
Je vais regarder cela ! Si j'ai un problème je reviens !
Merci !

[invite92876ef2]

A vrai dire, je ne suis pas entièrement satisfait. Je ne vois que des calculs indirects... Vous y voyez autre chose ?

[Deedee81]

Salut,

Tu as essayé aussi avec "brownian motion return time" ?

J'ai ça dans un bouquin "physique statistique des champs" de Claude Itzykson, mais je dois bien avouer que j'ai trouvé ça imbuvable (ça vient de moi car j'aime bien cet auteur) et en plus il ne donne pas tous les détails des calculs, c'est dire !

[invite179e6258]

mais le mouvement brownien ce n'est pas exactement ça. Là on se déplace sur une grille finie donc en fait on a une chaîne de Markov à temps discrets et à nombre fini d'états.

[invite92876ef2]

Je ne vois pas d'expression claire du temps de premier retour pour une lattice carrée...
En fait si la probabilité d'aller en haut, à gauche, à droite ou en bas est la même, trouve-t-on une expression simple ? Il me semble que la matrice de transition est fort complexe...

[invite92876ef2]

Une réponse qui pourrait éventuellement m'aider est liée à la question suivante :

Si je m'intéresse à une lattice infinie (Z²), combien de "boucles" possibles de 2n steps y a-t-il ?
Je pourrais borner peut-être cette trajectoire par la suite en fonction de là où je me trouve dans le réseau.

[invite92876ef2]

Réflexion faite, la probabilité de revenir en tout point de en steps est :

(notation en chaine de Markov).

On a clairement :

.

Je réfléchis à comment faire la suite.

[invite92876ef2]

Pourriez-vous me dire ce que la série



vaut ?

Merci.

[invite92876ef2]

Pas sûr d'avoir la bonne piste, car elle mène à une réponse numérique, et non analytique...

Bon la question était :

Quel est le temps de premier retour à l'origine pour une marche aléatoire sur Z2 avec un proba égale d'aller en haut, droite, gauche, bas en tout point ?

[inviteea028771]

Quel est le temps de premier retour à l'origine pour une marche aléatoire sur Z2 avec un proba égale d'aller en haut, droite, gauche, bas en tout point ?

C'est une variable aléatoire finie presque surement avec une espérance infinie (le temps de retour moyen en 0 n'a pas de sens)

[invite92876ef2]

Oui en effet,
J'ai oublié de préciser que c'était un carré.

[invite179e6258]

si tu as une grille finie, il faut que tu spécifies ce qui se passe aux bords. Souvent on adopte ce qu'on appelle "conventions de tore" : i.e. on replie la grille pour en faire un tore, ou en d'autres termes, quand on sort par la droite on revient par la gauche, etc.