OUvert de R

[invite815c52ba]

Bonjour,

Je me posais une question: Les ouverts de R sont exactement toute réunion d'intervalle ouvert ou toute réunion dénombrable d'intervalle ouvert de R?

Merci d'avance
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[Seirios]

Bonjour,

Oui. Plus généralement, si X est un espace métrique séparable, alors tout ouvert de X s'écrit comme une union dénombrable de boules ouvertes.

[invite815c52ba]

Merci de votre réponse.

Mais je ne comprend pas très bien. La tribu borélienne sur R est la tribu engendré par les ouverts de R.
On a aussi comme propriété que la tribu borélienne sur R est engendré par les intervalles ouverts de R.
Mais avec la propriété de la tribu borélienne, une union non dénombrable d'ouvert de R n'appartiendrais pas à B(R) mais c'est en contradiction avec la définition de tribu borélienne.

[gg0]

Bonjour.

1) Les ouverts ne forment pas une tribu.
2) "une union non dénombrable d'ouvert de R n'appartiendrais pas à B(R)" est faux. la définition de "tribu" ne parle pas des réunions infinies non dénombrables. Elle n'en dit rien !

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]