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tout intervalle ouvert est un ensemble ouvert



  1. #1
    littlegirl

    tout intervalle ouvert est un ensemble ouvert


    ------

    bonjour,

    je dois démontrer la propriété suivante:
    tout intervalle ouvert est un ensemble ouvert.
    j'ai fait ceci
    soit a;b intervalle ouverte de R
    soit x appartenant à a;b.
    pour r= d(x; min(a;b)) la boule de centre x et de rayon r est inclue dans l'intervalle a;b
    et donc a;b est un voisinage de x
    par conséquent a;b est un ensemble ouvert
    est ce que c'est vrai ou pas??
    merci d'avance.

    -----

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  4. #2
    littlegirl

    Re : tout intervalle ouvert est un ensemble ouvert

    corrigez moi SVP

  5. #3
    invite986312212
    Invité

    Re : tout intervalle ouvert est un ensemble ouvert

    salut,

    l'idée est bonne mais le choix de r est perfectible: c'est plutôt min(|x-a|,|x-b|)

    tu aurais pu remarquer que les intervalles ouverts ]a,b[ avec a,b réels sont déjà des boules ouvertes, de sorte que tu n'avais à considérer que les intervalles (-infini,a[ ou ]a,+infini). Mais ça ne change rien à ta démonstration puisque tu prends le minimum des distances de x à a et b.

  6. #4
    littlegirl

    Re : tout intervalle ouvert est un ensemble ouvert

    merci le choix de ce r est plus parfait
    mais dois-je démontrer l'inclusion de la boule B dans l'intervalle a;b ?
    merci.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    littlegirl

    Re : tout intervalle ouvert est un ensemble ouvert

    la visualisation est evidente
    mais comme démonstration mathématique..!!??

  9. #6
    littlegirl

    Re : tout intervalle ouvert est un ensemble ouvert

    Sos....
    .....

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  11. #7
    invite986312212
    Invité

    Re : tout intervalle ouvert est un ensemble ouvert

    mais cette inclusion n'est-elle pas évidente?
    ça revient à montrer que si a<=b<=c<=d sont quatre réels, alors ]b,c[ est inclus dans ]a,d[. Quelle définition d'un intervalle connais-tu?

  12. #8
    littlegirl

    Re : tout intervalle ouvert est un ensemble ouvert

    soit x' appartenat à B(x;r)
    donc d(x';x)<min(|x-a|,|x-b|)
    implique : a<x'<b
    je ne trouve pas ceci évident..!!

  13. #9
    littlegirl

    Re : tout intervalle ouvert est un ensemble ouvert

    oui oui... je viens de la retrouver
    désolé pour le dérangemant
    merci bcp .

  14. #10
    rvz

    Re : tout intervalle ouvert est un ensemble ouvert

    Salut,

    Sinon, une autre rédaction que celle de MMu (qui était tout à fait juste il me semble), c'est d'écrire que il existe un entier n tel que
    n < 2x < n+1 (si 2x est entier, tout est évident), puis de discuter selon la parité de n:
    1/ le cas n = 2k, avec k entier
    2/ le cas n =2 k+1, avec k entier.

    __
    rvz, the come-back

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