bonjour,
je dois démontrer la propriété suivante:
tout intervalle ouvert est un ensemble ouvert.
j'ai fait ceci
soit a;b intervalle ouverte de R
soit x appartenant à a;b.
pour r= d(x; min(a;b)) la boule de centre x et de rayon r est inclue dans l'intervalle a;b
et donc a;b est un voisinage de x
par conséquent a;b est un ensemble ouvert
est ce que c'est vrai ou pas??
merci d'avance.
corrigez moi SVP
salut,
l'idée est bonne mais le choix de r est perfectible: c'est plutôt min(|x-a|,|x-b|)
tu aurais pu remarquer que les intervalles ouverts ]a,b[ avec a,b réels sont déjà des boules ouvertes, de sorte que tu n'avais à considérer que les intervalles (-infini,a[ ou ]a,+infini). Mais ça ne change rien à ta démonstration puisque tu prends le minimum des distances de x à a et b.
merci le choix de ce r est plus parfait
mais dois-je démontrer l'inclusion de la boule B dans l'intervalle a;b ?
merci.
la visualisation est evidente
mais comme démonstration mathématique..!!??
Sos....
.....
mais cette inclusion n'est-elle pas évidente?
ça revient à montrer que si a<=b<=c<=d sont quatre réels, alors ]b,c[ est inclus dans ]a,d[. Quelle définition d'un intervalle connais-tu?
soit x' appartenat à B(x;r)
donc d(x';x)<min(|x-a|,|x-b|)
implique : a<x'<b
je ne trouve pas ceci évident..!!
oui oui... je viens de la retrouver
désolé pour le dérangemant
merci bcp .
Salut,
Sinon, une autre rédaction que celle de MMu (qui était tout à fait juste il me semble), c'est d'écrire que il existe un entier n tel que
n < 2x < n+1 (si 2x est entier, tout est évident), puis de discuter selon la parité de n:
1/ le cas n = 2k, avec k entier
2/ le cas n =2 k+1, avec k entier.
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rvz, the come-back
